Геометрия масс. Теоремы динамики

3.2.1. Центр масс (центр инерции) механической системы

Пусть механическая система состоит из точечных фрагментов. Рассмотрим некоторую точку С пространства и пусть - радиус-вектор -го фрагмента относительно полюса С (рис. 8). Выражение называется статическим моментом масс относительно полюса С. Центр масс системы - такая точка С пространства, относительно которой статический момент равен нулю:

.

Пусть - радиус-вектор -го фрагмента относительно полюса О абсолютной (инерциальной) системы отсчета, - абсолютный радиус-вектор центра масс; . Тогда, обозначив как массу системы, получим, что .

Рис. 8. Определение положения центра масс

 

Если тело имеет центр тяжести (центр системы параллельных сил), то он находится в центре масс.

3.2.2. Выражение количества движения системы через скорость центра масс. Уравнение движения центра масс.

Используя определение центра масс, находим, что количество движения системы выражается через скорость центра масс:

.

Теорему об изменении количества движения (Ч. 1, п. 2.1.9) при условии можно представить как уравнение движения центра масс:

.

Теоремы Кёнига

а) Пусть с центром масс связана подвижная система отсчета, движущаяся поступательно, т.е. каждый ее пункт имеет скорость . Тогда абсолютная кинетическаяэнергия механической системы равна

,

где - кинетическая энергия относительного движения системы.

б) Кинетический момент абсолютного движения относительно неподвижного полюса связан с кинетическим моментом относительно некоторого подвижного полюса формулой

.

Если – центр масс, то - кинетический момент относительного движения.

3.2.4. Кинетическая энергия твердого тела в простейших случаях его движения. Момент инерции тела относительно оси

а) При поступательном движении твердого тела при кинетическая энергия его равна

.

б) При вращательном движении (см. Ч. 1, п. 1.2.8), где - расстояние от - ой точки до оси вращения

.

Выражение называется моментом инерции тела относительно оси вращения ; оно характеризует разброс масс относительно оси и служит мерой инерционности тела во вращательном движении вокруг этой же оси.

в) При плоскопараллельном движении тела (см. теорему Кёнига)

.

- момент инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Если - момент инерции тела относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р, то

.

3.2.5. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно неподвижной оси его вращения

Вектор количества движения - ой точки тела направлен так же, как и её скорость (см. ч. 1, рис. 3). По правилу расчета момента вектора относительно оси (ч. 1, п. 2.1.4) получим, что величина момента вектора относительно оси вращения равна . Знак момента определяется знаком проекции . Кинетический момент всего тела относительно оси

.

3.2.6.Кинетический моменти кинетическаяэнергия твердого тела при его сферическом движении. Тензор инерции

При сферическом движении вокруг полюса скорость - ой точки твердого тела равна (см. ч. 1, п. 1.5.4)

Тогда кинетический момент тела относительно полюса О равен

Выражение есть квадрат расстояния от - ой точки до оси , так что - момент инерции тела относительно оси .

Выражения , , называются центробежными моментами инерции.

Симметричная матрица -

матрица инерции - определяет тензор инерции тела в заданной точке.

Тензоры – математические объекты, которые возникли как обобщение понятия о векторах. Скаляр считается тензором нулевого ранга. Вектор в трехмерном пространстве - тензор первого ранга - представляет собой совокупность трех скаляров, перечисляемых в определенной последовательности (кортеж). Тензор второго ранга в трехмерном пространстве можно рассматривать как кортеж из трех векторов.

Пусть прямоугольная декартова система координат развернута относительно такой же системы . Обозначим как косинусы углов между осями и . Между проекциями некоторого вектора , рассчитанными относительно системы координат , и проекциями его в системе имеют место соотношения:

.

В такого рода записях символ суммирования опускается; по умолчанию принимается, что суммирование происходит по повторяющимся индексам (в данном случае по индексу ). Говорят, что векторы являются компонентами тензора , если эти компоненты преобразуются по аналогичному правилу: . Таким образом, тензор задается девятью скалярами

,

которые преобразуются по формуле .

Напряженно-деформированное состояние сплошного упругого тела характеризуется тензором напряжений и тензором деформаций (tendo (лат.) – напрягаю, натягиваю). Обобщенный закон Гука задает соотношения между компонентами этих тензоров через упругие параметры материала тела.

Если обозначает вектор-строку, а - транспонированный вектор (вектор-столбец), то можно записать

.

(Согласно правилу перемножения матриц результат умножения матрицы на столбец есть столбец; результат умножения строки на матрицу - строка.)

Сравним полученное выражение для кинетического момента с выражением для количества движения при поступательном движении ; их структура одна и та же: произведение инерционного коэффициента на кинематический параметр тела.

Отметим, что при вращении тела вокруг неподвижной оси , и тогда

В выражении для кинетической энергии тела величины ( - расстояние от - ой точки тела до мгновенной оси вращения , вдоль которой направлен вектор ). Тогда

,

где - момент инерции тела относительно мгновенной оси. С другой стороны, подставив в формулу приведенное выше выражение для вектора , получим

или .

Сравним: при поступательном движении твердого тела

.

Рассмотрим орт направления мгновенной оси , такой, что . Тогда . Из сравнения с вышеприведенной формулой следует, что момент инерции относительно оси находится по формуле . Пусть ось проходит через точку на единичной сфере с центром , имеющую координаты - проекции орта . Тогда получим выражение

Изменим масштаб расстояний. Если точку М на оси брать на

расстоянии , то получим выражение

.

Это уравнение поверхности второго порядка – эллипсоида инерции. Величины - координаты точки М эллипсоида, при этом расстояние ОМ характеризует момент инерции относительно оси ОМ в соответствии с вышеприведенной формулой. Оси симметрии его называются главными осями инерции. Матрицу квадратичной формы, определяющей левую часть уравнения эллипсоида, можно с помощью неособенного преобразования, задающего поворот осей координат, привести к диагональному виду. Компоненты диагональной матрицы суть главные моменты инерции. Оси соответствующей системы координат называются главными осями инерции. Центробежные моменты относительно главных осей равны нулю.

Можно построить эллипсоид инерции с центром в любой точке тела. Если за центр принять центр масс тела, то оси инерции называются центральными.

3.2.7. Теорема Гюйгенса-Штейнера о соотношении между моментами инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых – центральная

Пусть - расстояние между осью и параллельной ей центральной осью ; - масса тела (рис. 9,а). Моменты инерции связаны формулой: .