Лекция 1. Кинематика точки и твердого тела.

Лекция 1. Кинематика точки и твердого тела.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Краткие сведения по истории развития кинематики.

2. Кинематика точки. Введение в кинематику.

3. Способы задания движения точки.

4. Вектор скорости точки.

5. Вектор ускорения точки.

6. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки.

7. Определение ускорения в полярных координатах.

8. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки. Касательное и нормальное ускорение точки.

9. Некоторые частные случаи движения точки.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики движения материальной точки, динамики относительного движения точки, динамики вращательного движения точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

 

Краткие сведения по истории развития кинематики

Кинематика, как специальный раздел теоретической механики, возникла позднее статики и динамики, а именно, в начале второй половины XIX в. Появление первых исследований по кинематике связано с изобретением огнестрельного оружия. В первую очередь внимание исследователей привлекали вопросы определения траекто­рии полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криво­линейном движении точки. Леонардо да Винчи (1452—1519) первый экспериментально изучал вопрос о свободном вертикальном паде­нии тяжелого тела. Однако лишь благодаря трудам Г. Галилея (1564—1642) развитие механики тесно связывается с запросами техники того времени. Галилею принадлежит введение понятия об ускорении и доказательство того, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к горизонту, является парабола. Законы, найденные Галилеем, были развиты в исследова­ниях Э. Торричелли (1608—1647), установившем формулу пропорцио­нальности скорости падения тела корню квадратному из высоты падения. Обобщение понятия ускорения на случай криволинейного движения было получено X. Гюйгенсом (1629—1695), который первым обратил внимание на возможность разложения ускорения при криволинейном движении на касательное и нормальное. Однако строгое доказательство этого было дано Л. Эйлером (1707—1783).

Кинематические законы движения планет были установлены И. Кеплером (1571—1630). Эти законы легли в основу закона все­мирного тяготения, открытого Ньютоном.

Л. Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по ки­нематике точки в случае естественного способа задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела вокруг непо­движной точки. Он создал широко применяемый метод кинематиче­ского описания движения твердого тела с помощью трех углов, назы­ваемых углами Эйлера.

Развитие кинематики системы обязано трудам Ж. Лагранжа (1736-1813).

Однако только бурный рост машиностроения в XIX в. повлек за собой расцвет кинематики как науки. По предложению Ж. Ампе­ра в 1851 г. кинематика выделилась в особый раздел теоретической механики. Появляется ряд глубоких исследований по кинематике твердого тела французских ученых М. Шаля (1793—1886), Л. Пуансо, Г. Кориолиса (1792—1843). П. Л. Чебышев (1821—1894) создал в России научную школу по кинематике механизмов. Богатое науч­ное наследие по кинематике механизмов Чебышева разрабатывается советскими учеными, среди которых, в первую очередь, следует отметить Н. И.Мерцалова (1860—1948), И. И. Артоболевского, А. П. Котельникова (1865—1940), Д. С. Зернова, Л. В. Асура (1878—1920), Я. Л. Геронимуса и др.

«Отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921) принад­лежат первоклассные работы по теоретической механике, в том числе и по кинематике, в которых широко внедрены геометрические методы доказательств различных теорем. Ряд замечательных иссле­дований по кинематике принадлежит профессору Одесского уни­верситета В. Н. Лигнину (1846—1900), возглавлявшему на Украине научное направление исследований по кинематике.

 

Кинематика точки. Введение в кинематику.

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

В кинематике изучают зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Поэтому кинематику называют также геометрией движения.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Обычно кинематику подразделяют на две части — кинематику точки и кинематику твердого тела.

Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Тело отсчета - тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.

Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).

Рис.1

 

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.

В теоретической механике при измерении пространства за основ­ную единицу длины принимают метр (м), а за основную единицу времени — секунду (с). Время предполагается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и не зависимым от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой и рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, прини­маемая в качестве аргумента.

При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент вре­мени.

Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным момен­том называется время, с которого начинают отсчет времени.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.

Радиус-вектор точки М - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2).

Координата х точки М - это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами - координатами (рис. 2.1).

Рис.2

Рис.2.1

 

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения точки. Зависимость между произвольными положениями движущейся точки в пространстве и времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считают известным, если можно определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Положение точки рассматривается по отношению к вы­бранной системе координат.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движе­нии все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка".

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. На практике форму траектории задают с помощью математических формул (у=f(х) — уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0.

Перемещение тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М₀) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2):

,

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.

Проекция перемещения на ось Ох: ∆r_x =∆х = х-х₀, где x₀ и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

 

Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 3).

Рис.3

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­ментаt:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где r_x, r_y, r_z - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому

Если движение точки задано в полярных координатах

r=r(t), φ = φ(t),

где r — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и по­лярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траекто­рии точки. Исключив параметр t, получим

r = r(φ).

Пример 1. Движение точки задано уравнениями

Рис.4

 

Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как sin²2t+cos²2t=1, получим . Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4).

Начальное положение точки M ₀ (при t =0) определяется координатами x₀=0, y₀=3 см.

Через 1 сек. точка будет в положении M ₁ с координатами

x₁=2sin2=2∙0,91=1,82 см, y₁=2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см.

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5

 

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M ₁, М ₂,.... следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

s=f(t).

Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.

Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда,когда функцияs = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М₁ в М₂. Положению точки в М₁ соответствует время t₁, а положению точки в М₂ - время t₂. Разложим промежуток времени t₂- t₁ на весьма малые промежутки времени ∆t₁ (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆s_i. Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной:

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле

так как

где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Следовательно,

Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).

Рис.6

 

В начале движения, при t=0 s=OM₀=s₀=3 см. Положение точки M ₀ назы­вается начальным положением. При t=1 с, s=OM₁=5 см.

Конечно, за 1 сек. точка прошла расстоя­ние M ₀ M ₁ = 2см.Так что s – это не путь пройденный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.

 

Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения

∆r= v ∆t, (1)

где v – постоянный вектор.

Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет.

Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем

Направление вектора v указано на рис. 6.1.

Рис.6.1

 

При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени.

Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто­ром , а в момент t₁ приходит в положение M ₁ определяемое векто­ром (рис.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени ∆t=t₁-t определяется вектором который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ ₁ видно, что ; следовательно,

Рис. 7

 

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени∆t:

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость v_ср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю:

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ ₁ является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

 

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки , учитывая, что r_x=x, r_y=y, r_z=z, найдем:

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

 

Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Величину скорости можно определить как предел (∆r – длина хорды ММ ₁):

где ∆s – длина дуги ММ ₁. Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt.

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении

 

Вектор ускорения точки

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате .

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t₁ приходит в положение M₁ и имеет скорость v₁ (рис. 8).

Рис.8

 

Тогда за промежуток времени ∆t=t₁-t скорость точки получает приращение . Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный v ₁, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вог­нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему про­межутку времени ∆t определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.

Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v посто­янна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равно­мерному движению.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 9, а) векторы и сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов и противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Рис.9

 

Если траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения , так же как и вектор , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M ₁ (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

 

 

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:

Или

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

где α₁, β₁, γ₁ - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Пример 3. Движение точки задано уравнениями x=2t, y=3-4t².

Из первого уравнения t=x/2. Подставив во второе, получим уравнение траектории: y=3-x²

Это уравнение параболы. В на­чале движения, при t=0, точка находи­лась на самом верху, в положении M ₀ (x₀=0, y₀=3 см).

А, например, при t =0,5 c она будет в положении M с координатами x₁=1 см; y₁=2 см.

Проекции скорости на оси v_x= =2см∙с^-1, v_y= =-8t см∙с^-1.

При t =0,5 c, v_x=2см∙с^-1, v_y=-4 см∙с^-1.

И модуль скорости

Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 10.

Рис.10

 

Проекции ускорения a_x= =0, a_y= =-8 см∙с^-2. Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.

 

Рис.10.1

 

Таким образом, получим

a_r=r – rφ², a_φ=2rφ + rφ.

Модуль ускорения

Обозначая через θ угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определим направление ускорения a точки по формуле

 

Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки

При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.11). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: ось Mτ - вдоль каса­тельной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плос­кости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости(вплоскости самой кривой, если кривая плоская), называетсяглавной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью.

Естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью.

Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, прохо­дящей через касательную в точке М и любую точку кривой М₁, когда последняя стремится в пределе к совпадению с точкой М.

При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются.

Рис.11

 

Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости Mτn; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю (a=0).

Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении М и имеет скорость v, a в момент t₁=t+∆t приходит в положение М ₁ и имеет скорость v₁.

Тогда по определению

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Mτ и Mn, проведенные в точке М (рис.11). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М ₁ оси , параллельные Mτ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора и касательной Mτчерез ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М ₁ называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности ∆φ к длине дуги MM₁=∆s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны ρ в точке М. Таким образом,

Обращаясь теперь к чертежу (рис.11), находим, что проекции векторов и на оси Mτ, Mn, будут равны:

где v и v₁ - численные величины скорости точки в моменты t и t₁.

Следовательно,

Заметим что при ∆t→0 точка М₁ неограниченно приближается к М и одновременно

Тогда, учитывая, что в пределе , получим для a_τ выражение

Правую часть выражения a_n преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на ∆φ∆s. Тогда будем иметь

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при ∆t→0 равны:

Окончательно получаем:

Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s noвремени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (a_b=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки.

Рис.12

 

Отложим вдоль касатель­ной Mτ и главной нормали Mn векторы и , чис­ленно равные a_τ и a_n (рис. 12). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая бу­дет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна), а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Mτ в зависимости от знака проек­ции a_τ (см. рис.12, а и б).

Вектор ускорения точки изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих и . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

Рис.13

Из рис.13 видно,