Кинематика и динамика вращательного движения.

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

 

Абсолютно твердое тело

Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение материальной точки и тела.

Абсолютно твердым называют тело, деформациями которого можно пренебречь, а расстояние между любыми его двумя точками сохраняется неизменным при движении.

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, а центры их лежат на оси вращения (рис. 2.1).

Угловое перемещение

 

Положение материальной точки при движении, например, по окружности, можно задать не только радиусом - вектором, но и угловым перемещением φ (углом поворота) радиуса - вектора, характеризующего положение м.т. относительно неподвижной плоскости Q, принятой за тело отсчета и подвижной плоскости Р, жестко связанной с вращающим телом (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Если тело совершило N оборотов, то общий угол поворота

φ = 2πN.

(2.1)

Выражение

φ = φ(t)

(2.2)

называют уравнением кинематики вращательного движения.

Изменение углового перемещения происходит во времени и описывается по уравнению (2.2), зависит от вида вращения абсолютно твердого тела (равномерное или неравномерное вращение) с неподвижной или подвижной осями вращения.

Задача кинематики: установить вид этого уравнения.

При вращении абсолютно твердого тела любые его точки А и Б, находящиеся на различных расстояниях R₁ и R₂ от оси вращения (рис. 2.2), перемещаются с различными скоростями (v₂ > v₁), поэтому линейные скорости точек тела не могут характеризовать вращение тела в целом. Действительно, точки А и Б проходят различные расстояния (s₂ > s₁). Однако за одно и то же время Δt различные точки тела поворачиваются на один и тот же угол φ. Так как абсолютно твердое тело вращается как единое целое, то величина углового перемещения не зависит от выбора конкретной точки тела, а является характеристикой движения всего тела (рис. 2.3).

Средняя угловая скорость

 

Пусть произвольная точка М находится в подвижной плоскости Р. Угол поворота j (угловое перемещение) всего тела и путь S будем отсчитывать от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3

Угол поворота в СИ измеряется в радианах (рад).

Из математики известно, что .

За малый промежуток времени Δt тело повернется на угол Δφ, а точка М пройдет путь по траектории

ΔS = R Δφ.

(2.3)

Величина радиуса R и положение центра окружности (т. 0) определяются соотношением

.

Разделим на Δt правую и левую части равенства (2.3):

.

Из кинематики поступательного движения известно, что Тогда

,

(2.4)

где <ω> - средняя угловая скорость.

Средняя угловая скорость равна отношению изменения углового перемещения к промежутку времени, за которое перемещение произошло.

Так как все точки тела за промежуток времени Δt поворачиваются на один и тот же угол Δφ, то средняя угловая скорость характеризует вращение тела в целом.

Момент инерции. Теорема Штейнера

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

 

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно некоторой оси.