Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Законы Кирхгофа для разветвленной цепи (разветвленная цепь – электрическая цепь, содержащая узлы – места, где сходятся не менее трех проводников):

а) По первому закону Кирхгофа – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю . Токи, приходящие к узлу, считаются положительными, а токи, отходящие от узла, отрицательными.

б) Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов в участках на сопротивление этих участков равна алгебраической сумме электродвижущих сил, включенных в данный контур

,

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления замкнутых участков; – алгебраическая сумма ЭДС источников тока на замкнутом участке цепи.

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.

2. Выбрать направление обхода контура; произведение положительно, если ток на участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот; ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода (перемещение происходит внутри источника тока от катода к аноду), считаются положительными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных электрических величин; каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержавшийся в предыдущих контурах.

 

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_i на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с., встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ного моста Уитстона. * Сопротивления R ₁, R ₂, R ₃и R ₄ образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением R_G. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(10 1.3)

Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R ₂, R ₃ и R ₄, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (I_G = 0). Тогда из (101.3) найдем

(101.5)

а из (101.4) получим

(101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (I_G = 0) при определении искомого сопротивления R ₁ э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используется реохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R ₃и R ₄ представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R ₃ /R ₄ можно заменить отношением l ₃/ l ₄. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101. 8)

Длины l ₃ и l ₄ легко измеряются по шкале, a R ₂ всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R ₁.

 

 

РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ

Параллельное соединение приемников. Вначале рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.16, а). Для такой цепи характерно то, что напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен сумме токов ветвей.

Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

I 1 =	U	; I 2 =	U	; I 3 =	U	(xL 3 > xC 3).
√ r 1^2 + xL 1^2	√ r 2^2 + xC 2^2	√ r 3^2 + (xL 3 - xC 3)^2

 

 

Угол сдвига φ между током каждой ветви и напряжением определяют с помощью cos φ:

cos φ1 =

r 1

; cos φ2 =

r 2

; cos φ3 =

r 3

.

√ r 1^2 + xL 1^2

√ r 2^2 + xC 2^2

√ r 3^2 + (xL 3 - xC 3)^2

 

Рис. 2.16. Цепь с параллельным соединением потребителей (а) и ее векторная диаграмма (б)

 

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов всех ветвей:

Ī = Ī ₁ + Ī ₂ + Ī ₃.

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме рис. 2.16, б.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:

Р = Р ₁ + P ₂ + P ₃.

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

	n
Q =	∑	Qk.

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс, ветви с емкостью — со знаком минус. Для цепи рис. 2.16 реактивная мощность равна

Q = Q_{L 1} - Q_{C 2} + Q_{L 3} - Q_{C 3}.

Полная мощность цепи

S = √ P ² + Q ².

Угол сдвига φ между общим током и напряжением определяют из векторной диаграммы или из выражения:

cos φ = P/S.

Графоаналитический метод не удобен для расчета разветвленных цепей: он отличается громоздкостью и невысокой степенью точности.

Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.

В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:

g = 1/ r

и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:

I = Ug.

Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе

В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная,

активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.

Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока I _a), а другая - на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока I _р).

Активная составляющая тока определяет активную мощность

P = UI cos φ = UI _a ;

реактивная составляющая тока - реактивную мощность

Q = UI sin φ = UI _р.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I ₁ равна

I 1a = I 1 cos φ1 =	U	r	= Ur 1 /z 1^2 = Ug 1.
z 1	z 1

Величина

g ₁ = r ₁ /z ₁²

называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I ₁ равна

I lp = I 1 sin φ1 =	U	xL	= UxL/z 1^2 = Ub 1.
z 1	z 1

Величина

b ₁ = x_L/z ₁² = b_{L 1}

называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается b_L.

Аналогично определяют активную g ₂ и реактивную b ₂ проводимости второй ветви цепи:

I _2а = I ₂cos φ₂ = U/z ₂ • r ₂ /z ₂ = Ug ₂; g ₂ =r ² /z ₂²;

I _2p = I ₂ sin φ₂ = U/z ₂• x_C /z ₂ = U_{b 2}; b ₂ = b_{C 2} = x_{C 2} /z ₂².

Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается b_C.

Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока

Ī ₁ = Ī _1а + Ī _1р,

а значение тока

I ₁ = √ I _1а² + I _1р².

Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим

I ₁ = √(Ug ₁)² + (Ub_{L 1})² = U √ g ₁² + b_{L 1}² = Uу ₁ = U/z ₁,

где у ₁ = 1 /z ₁ = √ g ₁² + b_{L 1}² — полная проводимость ветви.

Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:

у ₂ = 1 /z ₂ = √ g ₂² + b_С ².

Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.

Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī ₁ и Ī ₂:

Ī = Ī ₁ + Ī ₂

и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:

Ī = Ī _а + Ī _р = Ūg _э + Ūb _э = Uу _э = U/z _э .

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

(2.24)

I _а = I _1а + I _2а = Ug ₁ + Ug ₂ = U (g ₁ + g ₂) = Ug _э.

а реактивная составляющая - арифметической разности реактивных составляющих этих токов:

(2.25)

I _р = I _1р + I _2р = Ub_{L 1} - Ub_{C 2} = U (b_{L 1}- b_{C 2})= Ub _э.

 

Рис. 2.18. К расчету разветвлен- ной цепи с использова- нием проводимостей

Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что эквивалентная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей:

(2.26)

g _э = g ₁ + g ₂ +... + g_n,

а эквивалентная реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельно включенных ветвей:

(2.27)

b _э = b_{L 1} + b_{С 2} +... + b_Ln + b_Сп.

При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, ветвей с емкостным характером нагрузки — со знаком минус. Полная эквивалентам проводимость цепи

(2.28)

у _э = 1/z_э = √ g _э² + b _э².

По эквивалентным активной, реактивной и полной проводимостям можно определить параметры эквивалентной схемы (рис. 2.17, в) цепи.

Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления цепи определяют с помощью выражений

z _э = 1/ у _э , r _э = g _э z _э², х _э = b _э z _э².

Необходимо отметить, что если Σ b_L > Σ b_C, то эквивалентное сопротивление х _э будет индуктивным, если Σ b_C > Σ b_L — емкостным.

Смешанное соединение потребителей. Расчет цепи при смешанном соединении потребителей (рис. 2.18, а) может быть произведен путем замены ее простейшей эквивалентной цепью. Для этого вначале определяют активные, реактивные и полные проводимости параллельно включенных ветвей: g ₁, g ₂, b ₁, b ₂, у ₁, у ₂.

Затем находят эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи:

g _э = g ₁+ g ₂;
b _э = b ₁ + b ₂;
у _э = √ g _э² + b _э².

Далее определяют эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи:

r _э = g _э z _э²; x _э = b _э z _э²; z _э = 1/ у _э.

В результате расчетов цепь может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 2.18, б), где все сопротивления включены последовательно. Общие активное, реактивное и полное сопротивления цепи равны

r _об = r _э + r.
x _об = x ± x _э,
z _об = √ r _об² + x _об².

Цепь приобретает простейший вид, изображенный на рис. 2.18, в. Общий ток цепи определяют по закону Ома:

I = U / z _об

Напряжение между точками а и b

U_ab = Iz _э = I/у _э .

Токи в параллельных ветвях равны

I ₁ = U_ab у ₁, I ₂ = U_ab у ₂.