Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Как известно, действительные числа можно изображать точками числовой прямой. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой. Верно и обратное утверждение: каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Значит, между точками числовой прямой и множеством всех действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Подобно тому, как действительные числа изображаются точками числовой прямой, комплексные числа можно изображать геометрически точками плоскости. Каждому комплексному числу а + вi поставили в соответствие точку плоскости с координатами А(а; в).

Множество всех комплексных чисел находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости. К любой точке плоскости можно провести радиус-вектор.

Ось ОХ – действительная ось;

ОУ – мнимая ось.

Операция комплексного сопряжения числа заключается в изменении знака у мнимой части этого числа. Полученное число называется комплексно сопряженным числу .

Рис. 1. Комплексно сопряженные числа z и z *

Операция комплексного сопряжения обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

		(1)
		(2)
		(3)
		(4)

(Подразумевается, что если число находится в знаменателе дроби, то оно не равно нулю.)

Из этих свойств вытекает важное следствие.

Теорема. Пусть - многочлен целой степени n с вещественными коэффициентами a_k, где k = 0, 1, 2,...
Если число z ₀ является корнем уравнения P (z) = 0, то и комплексно сопряженное число z ₀* является корнем этого уравнения.

Доказательство. По условию теоремы справедливо тождество

.

Тогда выполняется и тождество

.

В виду вещественности коэффициентов a_k,

,

что и завершает доказательство теоремы.

Отметим, что вещественная x и мнимая y части комплексного числа могут быть представлены в виде линейной комбинации чисел z и z *. Действительно,

		(6)
		(7)

Следовательно,

(8)

Для любого комплексного числа z произведение zz * является неотрицательным вещественным числом:

(9)

Прочитаем эту формулу справа налево:

(10)

Таким образом, квадрат суммы двух вещественных чисел можно разложить на линейные комплексные множители.

-3-

Показательная форма комплексного числа.

и связаны формулой Эйлера: .

Тогда от тригонометрической формы комплексного числа можно перейти к показательной форме:

.

Тогда Складывая и вычитая, легко получить

.

Примеры. Записать комплексное число в показательной форме.

1)

2)

Возведение комплексного числа в целую степень

 

Пусть дано комплексное число. Для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Это правило известно в математике как формула Муавра:

Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть и . Корнем n-й степени из комплексногочисла z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степенииз комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

, (3)

где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

Доказательство. Обозначим

(4)

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-йстепени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что всеэлементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексногочисла z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексногочисла z является элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра

, ч.т.д.

2) Допустим, что , где и . Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрической формезаписи следует, что равны их аргументы.

Но, аргумент числа может отличаться от числа на числократное числу (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.к. и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней вмножестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .

Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где , а остаток r также является целым числом, но . Отсюда

и

. Таким образом,корень является корнем из множества корней (4), ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме записи: . Тогда

, где

, .

Ответ: , где

,

,

.