Основные алгебраические структуры: векторные (линейные) пространства.

Определение. Пусть А и К – произвольные непустые множества. – декартово произведение этих множеств. Отображение называют внешней бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве А над множеством К.

Другими словами, каждой паре элементов из декартовапроизведения ставится в соответствие единственный для этой пары элемент . (Обычно при написании результата алгебраическойоперации элемент пишется слева от элемента ).

Пример 1. Пусть – множество многочленов от одной переменной х с действительными коэффициентами, – поле действительных чисел. Тогда операция умножения многочлена на число является внешнейалгебраической операцией на множестве многочленов: , т.е. в результате опять получается многочлен с действительными коэффициентами.

Пример 2. Пусть – множество всех векторов как направленных отрезков. Тогда умножение вектора на число есть внешняя алгебраическая операция на множестве : , так как в результате получается вектор (направленный отрезок).

Определение. Пусть - произвольное множество, элементы которого мы будем называть векторами, К - поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция над полем К, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;

.

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называют векторным пространством над полем К, если эти алгебраические операции подчиняются следующим законам (аксиомывекторного пространства).

1. Закон ассоциативности сложения:

.

2. Существование нулевого вектора:

.

3. Существование противоположного вектора:

.

4. Закон коммутативности сложения:

.

5. Закон ассоциативности умножения вектора на скаляр:

.

6. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительносложения векторов:

.

7. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительносложения скаляров:

.

8. , где 1 - это единица поля К.

Определение. Векторное пространство над полем вещественныхчисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или х = 0.

4. .

Доказательство. Векторное пространство относительно сложенияобразует абелевую группу (аксиомы 1 – 4) откуда и следуют сразу же первые два утверждения теоремы.

3) а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору. Пусть . Тогда, применяя аксиомывекторного пространства, получаем:

.

Применяя закон сокращения, получаем .

б) Теперь докажем утверждение 4):

Пусть – произвольный вектор. Тогда

.

Отсюда сразу же следует, что вектор является противоположным вектору х.

в) Пусть теперь . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.

г) Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует , и окончательно . Теорема доказана.

Пример. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Мы уже знаем (см. выше примеры групп), что относительносложения векторов множество является абелевой группой. Из школьного курса геометрии нам известна еще одна операция свекторами – умножение вектора на число, в результате которой получается тоже вектор. Значит эта операция является внешней бинарнойалгебраической операцией на множестве над полем действительных чисел: . Осталось проверить все аксиомы векторногопространства, причем первые 4 нами уже проверены. Столь же легко проверяются и остальные аксиомы. Таким образом, множество всехвекторов как направленных отрезков образует вещественное векторноепространство.

 

-23-

Евклидово пространство

Править

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённой на нём нормой

где . Также назывется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством над полемвещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где и

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства размерности n = 1 (вещественная прямая) и размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

 

-24-

-----

-25-