Циркуляция и поток векторного поля

Пусть - векторное поле, заданное в некоторой области , и функции - непрерывно дифференцируемы в области . Пусть - кусочно гладкая замкнутая кривая, расположенная в области .

Определение. Криволинейный интеграл называется циркуляцией векторного поля () по контуру , то есть

В обозначении криволинейного интеграла 2-го рода не указывается направление обхода контура, поэтому направление обхода контура надо указывать особо, причем положительным считается обход против часовой стрелки, а отрицательным – по часовой стрелке.

Если контур задать векторной функцией , то есть - радиус-вектор точки кривой . Тогда и циркуляцию векторного поля по контуру можно записать в виде

Из этого определения становится понятным физический смысл циркуляции векторного поля. А именно, если считать векторное поле силовым полем, то есть работа поля по перемещению единичной массы вдоль контура .

Пусть - кусочно гладкая двусторонняя поверхность, на которой выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью к этой поверхности.

Определение. Потоком векторного поля через поверхность в направлении единичной нормали называется поверхностный интеграл первого рода:

Физический смысл потока: если векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости, то поток этого векторного поля через поверхность равен общему количеству жидкости, протекающей через за единицу времени.

Интегральные теоремы векторного анализа

Теорема Гаусса – Остроградского. Поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен интегралу по объему , ограниченному поверхностью , от дивергенции векторного поля :

Или в координатной форме:

Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность , ограниченную этим контуром. Ориентация поверхности соответствует направлению обхода контура :

Или в координатной форме:

 

Еще раз подчеркнем, что выбор стороны поверхности должен соответствовать направлению обхода контура , то есть если смотреть с конца единичного вектора нормали к выбранной стороне поверхности , то обход контура происходит против часовой стрелки.

 

Контрольная работа. Тема «Приложение кратных интегралов. Векторный анализ»

Задания

1. Найти объём тела, ограниченного заданными поверхностями (таб. 1).

2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке (таб. 2).

3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя) (таб. 3).

4. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t) (таб. 4).

Пример выполнения контрольной работы. Вариант № 0

1. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Решение. Объем тела вычисляется по формулу:

Тело V ограничено снизу плоскостью , сверху параболическим цилиндром , боковая поверхность - круговой цилиндр с центром в точке и радиусом 1, .

Для вычисления интеграла удобно перейти к цилиндрическим координатам: .

Запишем уравнения границ в цилиндрических координатах:

1) ;

2)

.

Пределы изменения координат φ и ρ определяем по виду проекции области интегрирования V на плоскость xOy (Рис. 24). Пределы изменения угла φ будут от до . При любом фиксированном угле φ, полярный радиус ρ изменяется от 0 до (уравнение окружности). При каждом значении (φ,ρ) в области D значение координаты z для области V меняются от до .

Рис. 24

Таким образом,

Ответ: .

2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .

Решение. Градиент скалярного поля в данной точке - это вектор, определяемый равенством

.

Находим частные производные функции :

, ,

, ,

. Таким образом, .

Аналогично, находим градиент поля в точке :

, , . , , . .

Напомним, что угол между векторами и находится по формуле

.

Тогда: и .

.

.

. Получаем: , то есть угол между градиентами равен нулю.

Ответ: угол между градиентами скалярных полей и в точке равен 0.

3. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности .

Решение. Если векторное поле непрерывно дифференцируемо внутри замкнутой поверхности , то можно использовать формулу Гаусса – Остроградского для вычисления потока в направлении внешней нормали:

,

где V – тело, ограниченное замкнутой поверхностью S.

Найдем дивергенцию поля, которая вычисляется по формуле:

.

В нашем случае имеем: ; ; .

, , . Следовательно,

.

Тело V, границей которого является поверхность S, представляет собой треугольную пирамиду (Рис. 25) ограниченную координатными плоскостями и плоскостью ().

Рис. 25

Ответ: .

4. Найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра ).

Решение. Если линия задана параметрически, т. е. , , то циркуляция поля равна:

В нашем случае , , .

, , .

Подставляя эти выражения в формулу для вычисления циркуляции, получаем:

.

Ответ: .

 

 

Варианты заданий контрольной работы

Таблица 1. Варианты задания 1

Вариант	Уравнения поверхностей	Вариант	Уравнения поверхностей
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, , , , ,		, , .
	, ,		, , ,
	1. , , ,		, ,
	, , , , ,		, , ,
	, ,		, , ,
	, , ,		, , ,
	, ,		, , ,
	, ,		, ,
	, , ,		, ,
	, ,		, , , ,
	, ,		, , , ,
	, , ,		, , ,
	, , z=0		, , ,

 

Таблица 2. Варианты задания 2

Вариант	Дано	Вариант	Дано
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,
	, ,		, ,

 

Таблица 3. Варианты задания 3

Вариант	Дано: - векторное поле ( - орты координатных осей), - замкнутая поверхность, ограниченная заданными поверхностями
	, , , ,
	, , ,
	.
	, ,
	, , , ,
	, , ,
	,
	, ,
	, , , , .
	,
	, , , ,
	, , ,
	,
	, ,
	, , ,
	, , , .
	,
	, ,
	, , , ,
	,
	, , , , .
	, , ,
	,
	, ,
	, , , ,
	, , ,
	,
	,
	,
	,

 

 

Таблица 4. Варианты задания 4

Вариант	Дано: -векторное поле ( - орты координатных осей), - замкнутый контур ()
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,

 

Рекомендуемая литература

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука,1960.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.: Высшая школа, 1980.

3. Краснов М.Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. М.: Наука, 1978.

4. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т.,Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшее математике. 2 курс. М.:Айрис-пресс, 2004.

5. Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1978.

6. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Т. 2./под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П., М.: Наука, 1981.

7. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1973.