Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и физики

Приложения двойных интегралов

С помощью двойного интеграла можно вычислять некоторые физические и геометрические величины:

· Площадь плоской фигуры D может быть вычислена по формуле

(13).

· Объем V цилиндра, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, у которой образующая параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D, вычисляется по формуле

(14).

· Масса плоской фигуры D с плотностью ( - масса на единицу площади) вычисляется по формуле

(15).

· Статические моменты М_х и М_y относительно осей Ox и Oy выражаются двойными интегралами

(16).

· Координаты центра масс и плоской фигуры находятся по формулам

(17).

· Моменты инерции I_x, I_y плоской фигуры относительно осей Ох и Oy находятся по формулам

(18).

· Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат находится по формуле

(19).

Пример.

Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми .

Решение. Построим заданную фигуру на плоскости xOy (Рис. 17).

Рис. 17

Фигура ограничена параболой , проходящей через начало координат с осью симметрии Ох, и прямой y=x. Координаты центра масс вычисляются по формулам , где

Область D можно задать системой неравенств . Так как фигура однородная, то положим γ(x,y)= 1. Следовательно, масса фигуры m равна

.

Статические моменты М_х и М_y относительно осей Ох и Oy, соответственно, равны

. Таким образом, .

Ответ:

Приложения тройных интегралов

С помощью тройных интегралов можно вычислить ряд геометрических и физических величин:

· Объем V пространственной области Т вычисляется по формуле

; (20).

· Масса m тела с переменной плотностью (масса на единицу объема) вычисляется по формуле

(21).

· Статические моменты тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

(22),

(23),

(24).

· Координаты центра масс тела вычисляются по формулам

(25).

· Моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz и начала координат () вычисляются по формулам

(26),

(27),

(28),

(30).

Пример.

Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями, если ее плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.

Решение. Масса тела вычисляется по формуле . Так как плотность пирамиды в каждой точке равна абсциссе этой точке, то .

Изобразим тело Т на чертеже (Рис. 18). Границами тела являются плоскость и координатные плоскости .

Рис. 18

Рис. 19

Так как область интегрирования Т ограничена сверху поверхностью , снизу , и проекцию области Т на плоскость xOy (Рис. 19) можно задать неравенствами

Следовательно,

.

Ответ:

 

 

Векторный анализ

Скалярное поле

Определение. Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой скалярной величины, то говорят, что задано скалярное поле этой величины.

Пример скалярных полей дает поле температур, электростатическое поле.

Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функции точки

.

Если в пространстве введена декартова система координат , то

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня (в случае плоского поля – линии уровня) – геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение. Поверхность уровня данного поля определяется уравнением

Пример.

Построить поверхности уровня скалярного поля

Решение. Поверхности уровня определяются уравнением где . Это есть однопараметрическое семейство параллельных плоскостей.

Пример 2.

Найти линии уровня скалярного поля

Решение. Линии уровня определяются уравнениями При получаем пару прямых . При получаем семейство гипербол.

Дифференциальными характеристиками скалярного поля являются производная по направлению и градиент скалярного поля.

Пусть - единичный вектор данного направления . Обозначим - приращение скалярного поля в точке по направлению вектора (вектор одинаково направлен с вектором ). Обозначим длину вектора через .

Определение. Производная скалярного поля в точке по направлению , обозначаемая через , определяется соотношением

Отметим еще раз, что в этой формуле - направляющие косинусы вектора , по направлению которого вычисляется производная поля; частные производные вычисляются в точке .

Таким образом, производная скалярного поля по направлению характеризует скорость изменения поля в данном направлении, а сами частные производные характеризуют скорость изменения поля по направлениям координатных осей. Если , то поле возрастает в направлении вектора , если , то убывает.

Определение. Градиентом скалярного поля , обозначаемым символом , называется вектор, определяемый формулой

Отметим свойства градиента и связь между производной поля по направлению и градиентом поля:

· Производная поля по направлению равна проекции градиента на ось, определяемую вектором

.

· Градиент направлен в сторону возрастания поля, направление градиента является направлением быстрейшего изменения поля.

· Градиент скалярного поля в данной точке направлен по нормали к поверхности уровня поля, проходящей через эту точку.

Пример 1.

Найти производную поля в точке по направлению вектора , где .

Решение. Имеем , его длина - . Направляющие косинусы: , , . Далее , , , тогда ().

Ответ: , поле убывает в данном направлении.

 

 

Пример 2.

Найти угол между градиентами поля в точках и .

Решение. Имеем , ; , , ; , , . Обозначим искомый угол через , тогда: , и .

Ответ: .

Векторное поле

Определение. Если в каждой точке пространства или части пространства определена векторная величина , то говорят, что задано векторное поле.

Если в пространстве введена декартова система координат, то задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций точки , так что

Геометрической характеристикой векторного поля является векторная линия.

Определение. Векторной линией векторного поля называется кривая, в каждой точке которой вектор направлен по касательной к этой кривой.

Пусть векторное поле определяется вектором

где

- непрерывные функции от , имеющие частные производные первого порядка.

Тогда дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид

Проинтегрировав эту систему дифференциальных уравнений можно получить уравнения векторных линий поля.

Дифференциальными характеристиками векторного поля являются дивергенция и ротор векторного поля.

Определение. Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина, обозначаемая символом , и определяемая формулой

Точки векторного поля , в которых , называются источниками, а точки, в которых , называются стоками векторного поля. Таким образом, дивергенция векторного поля характеризует распределение источников и стоков поля.

Пример.

Найти дивергенцию векторного поля в точке .

Решение. Имеем , , . Подставляя найденные значения частных производных в формулу для вычисления дивергенции, получим

Ответ: .

Определение. Ротором векторного поля называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством

или в символической, удобной для запоминания, форме

Этот определитель обычно раскрывается по элементам первой строки, при этом операция умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимается как операция дифференцирования, например, .

Ротор (вихрь) векторного поля характеризует завихренность поля. Если в некоторой области имеем , то поле вектора в области называется безвихревым.

Пример.

Найти ротор векторного поля

Решение. Имеем

Ответ: .