Декартовы координаты вектора.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Декартовы координаты вектора.



Опр. Три ортогональные (взаимно перпендикулярные) координатные оси Ox, Oy, Oz, имеющие общее начало О и единую единицу масштаба, образуют декартову систему координат в пространстве (рис.1.9).

 

z

 

y

O

 

x

 

Рисунок1.9

 

Ось Ox - это ось абсцисс, ось Oy - это ось ординат, ось Оz - это ось аппликат. Орты , , сонаправлены соответственно осям Ox, Oy, Оz. Так как орт- это единичный (то есть нормированный) вектор, то ортогональные орты , , образуют ортогональный ортонормированный базис, который обозначается { , , }.

Базисные тройки ортогональных ортов { , , } бывают двух типов.

Опр. Базисная тройка { , , } называется правой, если при кратчайшем повороте от вектора к вектору направление движения правого винта совпадает с направлением вектора . В противном случае орты , , образуют левую базисную тройку.

Ориентация базисной тройки не меняется при циклической (круговой) перестановке ортов: { , , } Þ { , , } Þ { , , } Þ { , , }. Но если в базисной тройке поменять местами любые два орта (или один из ортов заменить ему противоположным), то такая базисная тройка изменит свою ориентацию. Например, если { , , } - правая базисная тройка, то { , , } - левая.

В научной литературе принято пользоваться правой базисной тройкой ортов { , , }, которые образуют правую декартову систему координат.

 

Радиус-вектор точки и ее координаты.

 

Пусть М – произвольная точка пространства.

Опр. Радиус-вектор точки М - это вектор = с началом в начале декартовой системы координат – точке О, и концом – в точке М (рис.1.10).

 

z


C

 

M

O B y

A

 

x

Рисунок 1.10

 

Опустим из точки М перпендикуляры на координатные плоскости (Oxy), (Oxz) и (Oyz). Из рисунка 1.10 видно, что = x× ; = y× ; = z× , где x, y, z есть расстояния от точки М до плоскостей (Oyz), (Oxz), (Oxy) соответственно. Этим же расстояниям равны проекции точки М на оси Ox, Oy, Oz соответственно.

Опр. Декартовыми координатами радиус-вектора называются проекции этого вектора на соответствующие координатные оси:

x = прx ; y = прy ; z = прz .

Таким образом, числа x, y, z называются декартовыми координатами (компонентами) радиус-вектора . Обозначение: = (x; y; z). Читается: «радиус-вектор имеет координаты (x; y; z)».

NB. Поскольку точка М имеет те же координаты, что и радиус-вектор , то ее координаты символически обозначается так: М (x ; y; z).

Радиус-вектор как диагональ параллелепипеда равен сумме следующих векторов

= + + = x× + y× + z× (1.6)

Формула (1.6) называется разложением радиус-вектора по базисной тройке { , , }, а векторы x× ; y× ; z× называются компонентами радиус-вектора соответственно по осям Ox, Oy, Oz .

Из теоремы Пифагора следует формула, выражающая длину радиус-вектора через его координаты

| | = 1.7)

Так как радиус-вектор образует с осями Ox, Oy, Oz соответственно углы , , , то его направление определяется с помощью так называемых направляющих косинусов cos , cos , cos , которые находятся из соотношения

= x× + y× + z× = | |×cos × + | |×cos × + | |×cos × Þ (1.8)

(1.9)

 

Возводя в квадрат каждое из равенств (1.9) и почленно складывая их, получим

сos2 + cos2 + cos2 = 1 (1.10)

NB. Из формул (1.8) следует, что координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам: = (cos ; cos ; cos ).

Пример.

Радиус-вектор составляет с осями координат углы , , , причем = , = . Найти координаты радиус-вектора , если | |=3.

Решение.

Найдем угол . Из соотношения (1.10) для направляющих косинусов следует

сos = ± = ± = ±0,5 Þ = , =

Координаты радиус-вектора найдем по формулам (1.8):

x = | |×cos = = ; y = | |×cos = ; z1 = | |×cos 1 = ; z2 = | |×cos 2 = - Þ

Ответ: = ( ; ; ), = ( ; ; - )

 

Декартовы координаты произвольного вектора на плоскости.

 

Найдем декартовые координаты произвольного вектора = на плоскости Oxy, если А(xA; yA), B(xB; yB) (рис.1.11).

y

 

yB B

 

yA A

x

O xA xB

 

Рисунок 1.11

 

Проекции вектора = на координатные оси Ох и Оу соответственно равны:

прх = = хВ - хА; пру = = уВ - уА

Тогда = = × + × = (хВ - хА + (уВ - уА = (хВ - хА; уВ - уА).

Опр. Числа = хВ - хА и = уВ - уА называются декартовыми координатами вектора = на плоскости Oxy.

По теореме Пифагора имеем | | = = .

Тогда по свойству проекции вектора на ось получим:

Þ



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-06; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.197.197.23 (0.01 с.)