Декартовы координаты вектора.

Опр. Три ортогональные (взаимно перпендикулярные) координатные оси Ox, Oy, Oz, имеющие общее начало О и единую единицу масштаба, образуют декартову систему координат в пространстве (рис.1.9).

 

z

 

y

O

 

x

 

Рисунок1.9

 

Ось Ox - это ось абсцисс, ось Oy - это ось ординат, ось Оz - это ось аппликат. Орты , , сонаправлены соответственно осям Ox, Oy, Оz. Так как орт- это единичный (то есть нормированный) вектор, то ортогональные орты , , образуют ортогональный ортонормированный базис, который обозначается { , , }.

Базисные тройки ортогональных ортов { , , } бывают двух типов.

Опр. Базисная тройка { , , } называется правой, если при кратчайшем повороте от вектора к вектору направление движения правого винта совпадает с направлением вектора . В противном случае орты , , образуют левую базисную тройку.

Ориентация базисной тройки не меняется при циклической (круговой) перестановке ортов: { , , } Þ { , , } Þ { , , } Þ { , , }. Но если в базисной тройке поменять местами любые два орта (или один из ортов заменить ему противоположным), то такая базисная тройка изменит свою ориентацию. Например, если { , , } - правая базисная тройка, то { , , } - левая.

В научной литературе принято пользоваться правой базисной тройкой ортов { , , }, которые образуют правую декартову систему координат.

 

Радиус-вектор точки и ее координаты.

 

Пусть М – произвольная точка пространства.

Опр. Радиус-вектор точки М - это вектор = с началом в начале декартовой системы координат – точке О, и концом – в точке М (рис.1.10).

 

z

C

 

M

_O B y

A

 

x

Рисунок 1.10

 

Опустим из точки М перпендикуляры на координатные плоскости (Oxy), (Oxz) и (Oyz). Из рисунка 1.10 видно, что = x× ; = y× ; = z× , где x, y, z есть расстояния от точки М до плоскостей (Oyz), (Oxz), (Oxy) соответственно. Этим же расстояниям равны проекции точки М на оси Ox, Oy, Oz соответственно.

Опр. Декартовыми координатами радиус-вектора называются проекции этого вектора на соответствующие координатные оси:

x = пр_x ; y = пр_y ; z = пр_z .

Таким образом, числа x, y, z называются декартовыми координатами (компонентами) радиус-вектора . Обозначение: = (x; y; z). Читается: «радиус-вектор имеет координаты (x; y; z)».

NB. Поскольку точка М имеет те же координаты, что и радиус-вектор , то ее координаты символически обозначается так: М (x; y; z).

Радиус-вектор как диагональ параллелепипеда равен сумме следующих векторов

= + + = x× + y× + z× (1.6)

Формула (1.6) называется разложением радиус-вектора по базисной тройке { , , }, а векторы x× ; y× ; z× называются компонентами радиус-вектора соответственно по осям Ox, Oy, Oz.

Из теоремы Пифагора следует формула, выражающая длину радиус-вектора через его координаты

| | = 1.7)

Так как радиус-вектор образует с осями Ox, Oy, Oz соответственно углы , , , то его направление определяется с помощью так называемых направляющих косинусов cos , cos , cos , которые находятся из соотношения

= x× + y× + z× = | |×cos × + | |×cos × + | |×cos × Þ (1.8)

(1.9)

 

Возводя в квадрат каждое из равенств (1.9) и почленно складывая их, получим

сos² + cos² + cos² = 1 (1.10)

NB. Из формул (1.8) следует, что координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам: = (cos ; cos ; cos ).

Пример.

Радиус-вектор составляет с осями координат углы , , , причем = , = . Найти координаты радиус-вектора , если | |=3.

Решение.

Найдем угол . Из соотношения (1.10) для направляющих косинусов следует

сos = ± = ± = ±0,5 Þ = , =

Координаты радиус-вектора найдем по формулам (1.8):

x = | |×cos = = ; y = | |×cos = ; z₁ = | |×cos ₁ = ; z₂ = | |×cos ₂ = - Þ

Ответ: = (; ; ), = (; ; - )

 

Декартовы координаты произвольного вектора на плоскости.

 

Найдем декартовые координаты произвольного вектора = на плоскости Oxy, если А(x_A; y_A), B(x_B; y_B) (рис.1.11).

y

 

y_B B

 

y_A A

x

O x_A x_B

 

Рисунок 1.11

 

Проекции вектора = на координатные оси Ох и Оу соответственно равны:

пр_х = = х_В - х_А; пр_у = = у_В - у_А

Тогда = = × + × = (х_В - х_А)× + (у_В - у_А)× = (х_В - х_А; у_В - у_А).

Опр. Числа = х_В - х_А и = у_В - у_А называются декартовыми координатами вектора = на плоскости Oxy.

По теореме Пифагора имеем | | = = .

Тогда по свойству проекции вектора на ось получим:

Þ