Декартовы координаты произвольного вектора в пространстве.

 

Найдем декартовые координаты произвольного вектора = в пространстве, если А(х_А; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) (рис.1.12).

 

z

 

 

A

B

y

O

 

x

Рисунок 1.12

 

Из определения разности векторов и формулы (1.6) получим

= = - = (x_B× + y_B× + z_B× ) - (x_A× + y_A× + z_A× ) = (х_В - х_А)× + (у_В - у_А)× + + (z_B - z_A)× = (х_В - х_А; у_В - у_А; z_B - z_A). (1.11)

Следовательно, проекции вектора на координатные оси соответственно равны

пр_х = = х_В - х_А, пр_у = = у_В - у_А, пр_z = = z_В - z_А.

Опр. Числа = х_В - х_А, = у_В - у_А, = z_В - z_А называются декартовыми координатами вектора = в пространстве.

NB. Каждая декартовая координата вектора численно равна его проекции на соответствующую ось.

По свойству проекции вектора на ось имеем:

(1.12) Þ , (1.13)

где (по теореме Пифагора) | | равен:

| | = | | = (1.14)

Пример 1.

Найти координаты вектора = , его длину и направляющие косинусы, если А(1; 3; 2), В(5; 8; -1).

Решение. Найдем a_x = x_B - x_A = 5 -1 = 4; a_y = y_B - y_A = 5; a_z = z_B - z_A = -3 Þ

= 4 + 5 - 3 ; | | = = = = 5 ;

.

 

Пример 2.

Найти на оси Ох координаты точки М, которая равноудалена от точек А(2; -4; 6) и В(-3; 2; 5).

Решение.

По условию | | = | |. Так как точка МÎОх Þ М(х; 0; 0). Поэтому

| | = = ; | | = = .

Так как | | = | | Þ (х - 2)² + 52 = (х + 3)² + 29 Þ х² - 4х + 56 = х² + 6х +38 Þ 10х = 18 Þ х = 1,8 Þ М(1,8; 0; 0). Ответ: М(1,8; 0; 0).

 

Действия над векторами, заданными своими координатами.

 

Пусть = × + × + × = (a_x; a_y; a_z); = × + × + × = (b_x; b_y; b_z)

 

Линейные операции над векторами.

 

1) ± = ( ± )× + ( ± )× + ( ± )× = ( ± ; ± ; ± ).

2) = × + × + × = ( a_x; a_y; a_z).

 

Условие равенства двух векторов.

 

Если = Þ

 

Условие коллинеарности двух векторов.

 

Если || Þ = × Þ Þ (1.15).

Следовательно, у коллинеарных векторов все проекции пропорциональны.

 

Пример.

При каких значениях a и b векторы = (a; 3; -1); = (2; 6; b) коллинеарны.

Решение.

В данном случае равенство (1.15) примет вид: Þ a = 1; b = -2.

Деление отрезка в данном отношении.

 

Пусть в пространстве даны две различные точки М₁(х₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂) (рис.1.13). Найдем координаты точки М(x; y; z), которая делит отрезок [M₁M₂] в отношении . Но так как деление векторов не определено, то воспользуемся эквивалентным соотношением = × .

 

 

z

 

M₁

M

М₂

y

О

 

x

 

Рисунок 1.13

 

Тогда:

1) если МÎ[M₁M₂], то говорят, что точка М делит отрезок [M₁M₂] внутренним образом. В этом случае ­­ . Следовательно, > 0;

2) если МÏ[M₁M₂], то говорят, что точка М делит отрезок [M₁M₂] внешним образом. В этом случае ­¯ . Следовательно, < 0;

3) ¹ -1. Если бы = -1, то тогда Þ = - Þ + = 0 Þ Þ М₁ = М₂. А это противоречит условию, что точки М₁ и М₂ различны;

4) если = 0 Þ М = М₁;

5) если | |= ¥ Þ М = М₂.

Из равенства = × Þ

Þ Þ Þ , ( ¹ -1), (1.16)

где (x; y; z) – координаты точки М и радиус-вектора , (х₁; y₁; z₁) - координаты точки М₁ и радиус-вектора , а (x₂; y₂; z₂) - координаты точки М₂ и радиус-вектора . Тогда систему уравнений (1.16) можно кратко записать одним векторным уравнением

(1.17)

 

Пример 1. Дано: М₁(-3; 2; 4), М₂(6; 0; 1). Определить координаты точки М(x; y; z), делящей отрезок [M₁M₂] в отношении =2.

Решение. Так как координаты точки М равны координатам ее радиус-вектора , то по формуле (1.17) получим

Ответ: М(3; ; 2)

Пример 2.

Вычислить координаты точки М, делящей пополам вектор , если М₁(2; 8; 6), М₂(4; -6; 0).

Решение. Так как точка М делит отрезок [M₁M₂] пополам, то = Þ = , Þ =1. Тогда по формулам (1.16) получим Þ М(3; 1; 3).

Ответ: М(3; 1; 3).

Пример 3.

Даны две вершины треугольника АВС: А(5; 3), В(2; -1) и точка М(2; 2) пересечения его медиан. Определить координаты вершины С треугольника АВС (рис.1.14).

 

В

 

D

М

 

 

А С

 

Рисунок 1.14

 

Решение. По условию точка D делит отрезок [AB] пополам. Тогда по формулам деления отрезка пополам найдем координаты точки D:

х_D = ; у_D = Þ D( ; 1)

Согласно свойству пересечения медиан треугольника точка М делит отрезок [СD] в отношении = . Следовательно, х_М = Þ х_С = х_М(1+ ) - х_D = 2×3 - 2× = -1; у_М = Þ у_С = у_М(1+ ) - у_D = 2×3 - 2×1 = 4 Þ С(-1;4) Ответ: С(-1; 4).

Пример 4.

Определить координаты концов отрезка [AB], если точки С(2; 0; 2) и D(5; -2; 0) делят его на три равные части (рис.1.15):

А С D В

 

Рисунок 1.15

Решение. Точка С является серединой отрезка [АD], следовательно,

х_С = ; у_С = ; z_C = Þ Þ А(-1; 2; 4).

Аналогично, точка D является серединой отрезка [СВ], следовательно,

х_D = ; у_D = ; z_D = Þ Þ В(8; -4; -2)

Ответ: А(-1; 2; 4); В(8; -4; -2).

Скалярное произведение двух векторов.

 

Основные понятия.

 

Опр. Скалярное произведение двух векторов и есть число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение × , или ( , ).

Таким образом, × = | |×| |×cosj, где j = . (2.1)

Так как | |×cosj = и | |×cosj = (рис.2.1), то равенство (2.1) можно записать в следующем виде

× = | |× = | |× (2.2)

 

=AС₁

В С₁

 

А ^j B₁ С

= AB₁

 

Рисунок 2.1

 

NB. Механический смысл скалярного произведения. Если тело под действием постоянной силы перемещается на расстояние , то это значит, что над телом совершена механическая работа А, численно равная скалярному произведению силы на вектор перемещения , то есть А = × .