Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Система векторов x1, x2, …, xn О X называется линейно зависимой, если существуют числа α1, α2, …, αn О R, не все равные нулю (т.е. α12 + α22 + … + αn2 ≠ 0), такие, что

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = θ.

Если это равенство выполняется только при α1 = α2 = … = αn = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x1, x2, …, xn О X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

2. Базис векторного пространства? Координаты вектора? Доказать их единственность. Базис векторного пространства. Линейно независимая система векторов такая, что любой вектор пространства представляется в виде их линейной комбинации. В двумерном случае базис – это произвольная пара неколлинеарных векторов, в трехмерном случае – любая тройка некомпланарных векторов.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Теорема о единственности разложения вектора

По двум неколлинеарным векторам

Теорема о разложении вектора.

Пусть a и b - два неколлинеарных вектора плоскости. Тогда для любого вектора m плоскости существует, и притом единственная, пара чисел x и y такая, что

m= x a+ y b.

Доказательство. Пусть A и B -- соответственно начало и конец вектора m, т. е. m = . Проведем через точку A прямую, параллельную вектору a, а через точку B -- прямую, параллельную вектору b.

Обозначим через C точку пересечения этих прямых.

Имеем = + . Но вектор коллинеарен вектору a. Значит, = x a. Точно

так же из коллинеарности вектора вектору b следует, что = y b. Таким образом,

m = x a + y b.

Итак, мы доказали, что такая пара чисел x и y существует. Теперь докажем, что она единственна.

Предположим, что существует еще одна пара чисел x1 и y1 такая, что m = x1 a + y1 b.

Имеем

x a + y b = x1 a + y1 b,

Откуда

(x - x1) a = (y1 - y) b.

Но последнее равенство возможно лишь при условии, что x = x1, y = y1. Если, например, x не равен x1, то можно выразить вектор a через b: a = k b. А это означает коллинеарность векторов a и b. t

Замечание. Рассмотрим декартову систему координат. Обозначим через i и j единичные векторы, направленные по осям координат. Представим вектор m в виде m = xi +y j.

Коэффициенты x и y в данном случае являются координатами вектора m в этой системе координат.

20.4. Угол между двумя плоскостями. Вычислить угол между x+y+z–1 =0 и x–z–2= 0.

Угол между двумя плоскостями понимают линейный угол двух гранного угла между ними: φє[0;П/2]

15.5. Смешанное произведение векторов? В левом декартовом базисе i, j, k известно, что a= (1, 2, 3), b=(0, 1,0), c=(0, 0, 1). Какова ориентация этой тройки векторов?

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: Если а в и с компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а в и с равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

4.6. Виды линейных комбинаций векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Является ли линейно независимой система векторов f=(1, 0, 0), m=(0, 1, 0), р = (1, 1, 0)? Линейные комбинации

Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Теорема о единственности разложения вектора

По двум неколлинеарным векторам

Имеем

x a + y b = x1 a + y1 b,

Откуда

(x - x1) a = (y1 - y) b.

Но последнее равенство возможно лишь при условии, что x = x1, y = y1. Если, например, x не равен x1, то можно выразить вектор a через b: a = k b. А это означает коллинеарность векторов a и b. t

Замечание. Рассмотрим декартову систему координат. Обозначим через i и j единичные векторы, направленные по осям координат. Представим вектор m в виде m = xi +y j.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов