К экзамену по линейной алгебре (преподаватель березкина Л. Л. )

К экзамену по линейной алгебре (преподаватель Березкина Л.Л.)

Уч.год.

 

Матрицы и линейные операции над ними.

Определение умножения матриц и свойства операции умножения.

Степени квадратной матрицы и их свойства.

Операция транспонирования матриц и ее свойства.

5. Блочные матрицы.

6. Определение определителя и лемма о разложении по первому столбцу.

Определение определителя и лемма о равноправии строк и столбцов.

Определение определителя и лемма о перестановке строк и столбцов.

9. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.

Свойства определителей.

11. Теоремы аннулирования и замещения.

12. Определение о братной матрицы и ее свойства. Теорема существования и единственности.

13. Матричные уравнения. Лемма о равносильности систем линейных уравнений и матричных уравнений.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

15. Ранг матрицы и его свойства. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы (без доказательства).

16. Определение базисного минора матрицы. Теорема о базисном миноре.

17. Теорема о линейной независимости строк и столбцов матрицы. Следствия.

Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера–Капелли).

Однородные системы линейных уравнений. Количество решений, свойства решений. Фундаментальная система решений.

20. Неоднородные системы линейных уравнений. Связь решений неоднородной системы и союзной к ней однородной.

21. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (решение задач).

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.

Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

27. Определение размерности линейного пространства.Теорема о дополнении линейно независимой системы до базиса.

28. Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.

29. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

30. Определение подпространства линейного пространства и теорема о подпространствах.

31. Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.

32. Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.

33. Определение суммы и пересечения подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.

34. Определение суммы и пересечения подпространств линейного пространства. Теорема о размерности прямой суммы.

Определение матрицы перехода и её свойства.

36. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса.Линейное невырожденное преобразование переменных.

37. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.

38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.

39. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.

40. Определение матрицы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Лемма о подобных матрицах.

41. Геометрический смысл определителя матрицы линейного оператора.

Операции над линейными операторами. Теорема о матрице.

43. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.

44. Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.

Обратный линейный оператор.

46. Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.

47. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.

48. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфности пространств одинаковой размерности.

49. Линейные формы.

Определение и свойства собственных векторов.

Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.

52. Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости. Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду.

53. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.

Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.

Присоединенные векторы и правило их нахождения.

56. Определение билинейной формы и различные способы её записи.

57. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

58. Невырожденные и симметричные билинейные формы и их матрицы.

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.

63. Аксиоматическое определение скалярного произведения на действительном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Действительные евклидовы пространства. Псевдоевклидовы пространства.

Общее определение тензора. Примеры тензоров.

85. Общее определение тензора. Алгебраические операции над тензорами. Прямой тензорный признак.

86. Общее определение тензора. Обратный тензорный признак.

87. Преобразования взаимных базисов.

88. Тензоры в евклидовом пространстве. Метрический тензор. Контравариантные и ковариантные координаты вектора.

89. Операции поднятия и опускания индексов. Тензоры в ортонормированных базисах. Евклидов (ортогональный) тензор.

к экзамену по линейной алгебре (преподаватель Березкина Л.Л.)

Уч.год.