Матрицы и линейные операции над ними.

Определение умножения матриц и свойства операции умножения.

Степени квадратной матрицы и их свойства.

Операция транспонирования матриц и ее свойства.

5. Блочные матрицы.

6. Определение определителя и лемма о разложении по первому столбцу.

Определение определителя и лемма о равноправии строк и столбцов.

Определение определителя и лемма о перестановке строк и столбцов.

9. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.

Свойства определителей.

11. Теоремы аннулирования и замещения.

12. Определение о братной матрицы и ее свойства. Теорема существования и единственности.

13. Матричные уравнения. Лемма о равносильности систем линейных уравнений и матричных уравнений.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

15. Ранг матрицы и его свойства. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы (без доказательства).

16. Определение базисного минора матрицы. Теорема о базисном миноре.

17. Теорема о линейной независимости строк и столбцов матрицы. Следствия.

Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера–Капелли).

Однородные системы линейных уравнений. Количество решений, свойства решений. Фундаментальная система решений.

20. Неоднородные системы линейных уравнений. Связь решений неоднородной системы и союзной к ней однородной.

21. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (решение задач).

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.

Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

27. Определение размерности линейного пространства.Теорема о дополнении линейно независимой системы до базиса.

28. Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.

29. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

30. Определение подпространства линейного пространства и теорема о подпространствах.

31. Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.

32. Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.

33. Определение суммы и пересечения подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.

34. Определение суммы и пересечения подпространств линейного пространства. Теорема о размерности прямой суммы.

Определение матрицы перехода и её свойства.

36. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса.Линейное невырожденное преобразование переменных.

37. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.

38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.

39. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.

40. Определение матрицы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Лемма о подобных матрицах.

41. Геометрический смысл определителя матрицы линейного оператора.

Операции над линейными операторами. Теорема о матрице.

43. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.

44. Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.

Обратный линейный оператор.

46. Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.

47. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.

48. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфности пространств одинаковой размерности.

49. Линейные формы.

Определение и свойства собственных векторов.

Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.

52. Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости. Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду.

53. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.

Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.

Присоединенные векторы и правило их нахождения.

56. Определение билинейной формы и различные способы её записи.

57. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

58. Невырожденные и симметричные билинейные формы и их матрицы.

Квадратичные формы и их связь с билинейными формами. Различные способы записи квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.

60. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Метод Лагранжа (примеры). Закон инерции.

61. Определение знакоопределенной квадратичной формы. Полуопределенные формы. Необходимое условие знакоопределенности. Исследование знакоопределенности по каноническому виду.