Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:

Формально такое определение скалярного произведения двух векторов согласуется с аналогичной величиной для двух- и трехмерных векторов. Из данного определения следуют основные свойства скалярного произведения векторов:

1. .

2. .

3. .

4. , если и , если .

 

Определение. Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам 1-4, называется евклидовым.

Определение. Для векторов из -мерного пространства модуль вектора и угол j между двумя ненулевыми векторами и определяются по формулам

.

Необходимое условие для последней формулы, что , гарантируется неравенством Коши-Буняковского, справедливым для любых двух векторов и :

.

Векторы и будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

.

 

 

Линейная зависимость векторов

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают

(18)

Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор вида

(19)

где - любые действительные числа. Также говорят, что вектор линейно выражается через векторы или разлагается по этим векторам.

Например, пусть даны три вектора: , , . Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор

.

 

Определение. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой этой системы.

Определение. Система ненулевых векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

(20)

Если же последнее равенство для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой.

Например, система двух векторов , линейно независима; система двух векторов и линейно зависима, так как .

Пусть система векторов (19) линейно зависима. Выберем в сумме (20) слагаемое, в котором коэффициент , и выразим его через остальные слагаемые:

.

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (19) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).

Свойства линейно зависимой системы векторов

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.

 

Геометрический смысл линейной зависимости в случае двухмерных векторов на плоскости: когда один вектор выражается через другой, мы имеем , т.е. эти векторы коллинеарны, или что то же самое, находятся на параллельных прямых.

В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны. Достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

 

Теорема. В пространстве любая система, содержащая векторов, линейно зависима при .

Пример. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Решение. Составим векторное равенство . Записывая в виде вектор-столбцов, получаем

 

.

 

Таким образом, задача свелась к решению системы

 

Решим систему методом Гаусса:

 

 

В результате получим систему уравнений:

 

,

 

которая имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдется одно ненулевое, следовательно, векторы линейно зависимые.