Тема 2. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .

 

Теорема. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. чтобы

 

Пусть дана невырожденная матрица :

,

 

тогда обратной к матрице является следующая матрица:

 

 

где - алгебраические дополнения соответственно элементов ; .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Найти определитель матрицы убедиться, что он не равен нулю.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы и составить присоединенную матрицу :

 

 

3. Транспонировать матрицу :

 

4. Вычислить обратную матрицу по правилу:

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, исходя из определения .

Пример. Найти матрицу обратную к матрице

Решение.

1. Находим определитель матрицы :

 

2. Находим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

, ,

 

, ,

 

, ,

 

3. Составляем матрицу

 

4. Транспонируем матрицу :

5. Вычисляем обратную матрицу:

 

6. Делаем проверку:

 

 

Можно показать, что любую невырожденную квадратную матрицу А с помощью отдельных элементарных преобразований только строк или только столбцов можно привести к единичной матрице того же порядка. При этом те же преобразования, совершенные над матрицей Е в том же порядке, приводят ее к обратной матрице . На этом основан еще один способ нахождения обратной матрицы.

 

Пример.

Найти матрицу обратную к матрице

Решение.

1. Найдем определитель матрицы , следовательно, матрица имеет обратную.

2. Приведем матрицу к единичной с помощью элементарных преобразований только строк или только столбцов, при этом единичная матрица, подвергаемая тем же преобразованиям, перейдет в матрицу . Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами и одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту в виде объединенной матрицы

Поменяем местами первый и второй столбцы, умножим элементы первого столбца на и прибавим ко второму столбцу, затем умножим элементы первого столбца на и прибавим к третьему столбцу:

 

 

в результате получим:

 

3. Умножим элементы второго столбца на и прибавим к первому столбцу, затем умножим элементы второго столбца на и прибавим к третьему столбцу, в результате получим:

4.

 

Умножим элементы третьего столбца на и прибавим к первому столбцу, а затем ко второму столбцу, в результате получим:

 

.

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Пусть дана матрица размером .

В матрице А вычеркиванием каких-либо строк или столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы . Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначается или . Из определения следует:

1. Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. .

2. тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. матрица А – нулевая матрица.

3. Для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. .

Пример. Вычислить ранг матрицы

Решение.

Матрица имеет четвертый порядок, поэтому . Однако , т.к. матрица содержит нулевой столбец, поэтому . Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют определители равные нулю, т.е. . Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют определители равные нулю. Таким образом, . Поскольку матрица содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то .

 

Пример. Вычислить ранг матрицы.

Решение. Для матрицы ранг . Проверим, равен ли ранг трем. Для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего четыре, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):

; ;

;

Поскольку все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы .

Так как существует ненулевой минор второго порядка, например, , то ранг

 

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

- отбрасывание нулевой строки (столбца);

- умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число не равное нулю;

- изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

- прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

- транспонирование матрицы.

 

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

 

Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.

С помощью эквивалентных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если она имеет следующий вид:

где .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как имеется минор -го порядка, не равный нулю:

Пример. Найти ранг матрицы

Решение.

1. Если , то перестановкой строк или столбцов добиваемся того, чтобы . В данном примере поменяем местами первую и вторую строки матрицы.

 

2. Если , то, умножая элементы первой строки на подходящие числа и прибавляя соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца (кроме ) равнялись нулю. В нашем примере умножим первую строку на и прибавим к третьей строке, затем умножим первую строку на и прибавим к четвертой строке (во второй строке элемент , поэтому вторая строка не меняется):

 

 

3. Если в полученной матрице , то умножая элементы второй строки на подходящие числа и прибавляя к третьей и четвертой строкам, добьемся того, чтобы все элементы второго столбца (кроме ) равнялись нулю. В нашем примере умножим вторую строку на и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на и прибавим к четвертой строке:

 

 

 

Если в процессе преобразования получаются строки (столбцы), целиком состоящие из нулей, то эти строки (столбцы) отбрасываем.

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка не равные нулю, например, , поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно и исходной матрицы равен двум .

 

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица размера :

 

В матрице обозначим ее строки следующим образом:

.

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если .

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

;

.

 

Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

,

где - любые числа.

 

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке

 

(2)

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Если линейная комбинация строк (2) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

 

Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Строки и столбцы матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

 

Теорема. Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).