Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости.

Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости задана система. Рассмотрим уравнение вида

(63)

Это равенство называется уравнением некоторой линии L в заданной системе координат. Вообще говоря, линии на координатной плоскости могут быть самыми различными.

Линии первого порядка

 

К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение (63) содержит переменные и только в первой степени, т.е. такие линии описываются уравнениями вида

 

(64)

где А, В и С – постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную , как функцию от аргумента при :

 

(65)

 

Уравнение (65) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом , где j - угол наклона прямой к положительному направлению оси . Если , то прямая параллельна оси и отстоит от нее на масштабных единиц.

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку:

 

(66)

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и :

 

(67)

 

Угол между двумя прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями и , где и . Пусть j - угол между этими прямыми.

 

 

Тогда и получаем: или, что то же самое,

(68)

Формула (68) определяет один из углов между пересекающимися прямыми; второй угол равен .

Из равенства (68) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если прямые параллельны, то .

Если прямые перпендикулярны, то , откуда или .

Пример. Найти угол между заданными прямыми и .

Решение. , , подставляя эти значения в формулу (68), получаем:

откуда один из углов равен .

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая задана уравнением общего вида (64). Тогда расстояние от произвольной точки до прямой задается формулой

 

(69)

 

 

5.2. Линии второго порядка.

Рассмотрим три наиболее используемых вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

5.2.1 Эллипс.

Определение. Линия, для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом.

 

Точки и , где называются фокусами эллипса.

Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет - величина, определяемая отношением

.

Очевидно, что .

Согласно определению эллипса сумма расстояний от произвольной точки на этой линии до его фокусов и постоянна.

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (канонической) форме

(70)

 

где и - полуоси эллипса, , точка - центр эллипса, - половина расстояния между фокусами эллипса.

Из уравнения (70) следует, что оси эллипса являются осями его симметрии, а точка их пересечения – центром его симметрии.

В частном случае, когда , фокусы эллипса сливаются, и мы имеем окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример. Определить вид и расположение кривой

Решение. Дополним члены, содержащие и до полного квадрата:

 

 

 

Следовательно, заданная кривая представляет эллипс с полуосями и и центром в точке .

 

 

Гипербола

Определение. Гиперболой называется линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Разность расстояний от произвольной точки на гиперболе до фокусов и согласно определению есть величина постоянная

Из этой основной предпосылки выводится каноническое уравнение гиперболы, которое имеет вид:

(71)

где .

Нетрудно видеть, что прямые являются наклонными асимптотами гиперболы. Эта линия имеет две оси симметрии, точка пересечения которых является центром симметрии гиперболы.

Фокусы гиперболы - и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, больше единицы. Вершины гиперболы имеют координаты и

 

Парабола

Определение. Параболой называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

 

Согласно определению точка лежит на параболе, если . Отсюда выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид:

(72)

Точка называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.