Диагональная форма матрицы оператора

Наиболее простой вид матрица линейного оператора имеет, когда базисом является система ее собственных векторов, т.е. все ее собственных значений различны. В этом случае , при и , т.е. матрица является диагональной:

.

Следовательно, для того чтобы привести матрицу оператора к диагональному виду согласно формуле , в качестве матрицы нужно взять матрицу, столбцами которой должны быть собственные векторы оператора .

Пример. Привести к диагональному виду матрицу .

Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид:

, откуда , , .

Найдем собственные векторы, подставляя найденные собственные значения в матричное уравнение . Для получаем

,

отсюда . Полагая произвольной константой, получаем собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к уравнению

,

Откуда , полагая получаем второй собственный вектор матрицы : . Поскольку и - произвольные числа, одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины.

Поскольку собственные значения этой матрицы , подобная ей диагональная матрица имеет вид:

Проверим это по формуле . Составим матрицу , столбцами которой являются собственные векторы:

.

Найдем определитель матрицы , а обратная матрица имеет вид:

По формуле получаем:

.

 

4.6. Квадратичные формы.

 

4.6.1. Основные сведения о квадратичных формах.

Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

(50)

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем .

Будем называть симметрическую матрицу

(51)

матрицей квадратичной формы (50). Квадратичная форма (50) может быть представлена в матричной форме:

 

(52)

 

где и - вектор-строка и вектор-столбец переменных.

В самом деле

 

 

.

Пример. Дана квадратичная форма . Записать ее в матричном виде.

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет следующий вид: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а симметричные относительно нее недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов перекрестных произведений переменных данной квадратичной формы. Следовательно:

 

 

4.6.2. Преобразование квадратичных форм.

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть векторы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением

где , есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма

.

Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид

(53)

 

Пример. Для квадратичной формы предыдущего примера найти квадратичную форму, полученную из данной линейным преобразованием , , .

Решение. Матрица данного линейного преобразования имеет вид:

.

Применяя формулу (53) к матрице из предыдущего примера получаем:

,

т.е. квадратичная форма принимает вид:

.

 

 

4.6.3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

Определение. Квадратичная форма называется канонической или имеет канонический вид, если все ее коэффициенты при :

(54)

т.е. матрица является диагональной.

 

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

 

Определение. Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее каноническом виде все коэффициенты равны 1 или -1.

 

Существуют различные методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один из них

Метод Лагранжа. Заключается в выделении полных квадратов: сначала формируется полный квадрат из слагаемых, содержащих , затем из слагаемых, содержащих и т.д. Рассмотрим это на конкретном примере.

 

Пример. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму

 

Решение. Применяя метод Лагранжа, получаем:

 

 

 

.

где , , . При приведении к нормальному виду в этой квадратичной форме нужно использовать замену переменных , , . Тогда получаем:

 

Теорема. (Закон инерции квадратичных форм). При любом способе приведения квадратичной формы (50) с действительными коэффициентами к нормальному виду число квадратов с коэффициентами 1 получается одно и то же, как и число квадратов с коэффициентами -1.

 

4.6.4. Критерий знакоопределенности квадратичной формы.

Определение. Квадратичная форма (50) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных , не равных одновременно нулю, указанная форма имеет положительные (отрицательные) значения.

Оба этих случая объединены под названием знакоопределенных форм. Если квадратичная форма (50) как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.

Квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, если ее нормальный вид содержит ровно квадратов, т.е. имеет вид . Понятно, что все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть положительными.

Аналогично в нормальный вид отрицательно определенной все квадратов должны входить со знаком минус, т.е. все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть отрицательными.

Миноры

, , ,…, (55)

называются главными минорами матрицы квадратичной формы (50).

 

Теорема. (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма (50) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия

(56)

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .

 

Пример. Найти по критерию Сильвестра знакоопределенность квадратичной формы .

 

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:

 

.

 

Последовательно вычисляем ее миноры

 

, , .

 

Поскольку критерий Сильвестра не соблюден, то данная квадратичная форма является знакопеременной.

 

Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров.

Будем полагать, что бюджеты стран, которые мы обозначим соответственно , расходуются на покупку товаров. Будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть - доля бюджета , которую -ая страна тратит на закупку товаров у -ой страны. Введем матрицу коэффициентов

(57)

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), то справедливо условие

(58)

Матрица (57) со свойством (58), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли.

Для -ой страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

.

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. или

 

, (59)

Если считать, что , , то получаем систему неравенств

(60)

 

Покажем, что в условиях (59) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все неравенства системы (60). Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем

Учитывая (58), выражения в скобках равны единице, следовательно, мы приходим к противоречивому неравенству

,

откуда очевиден только знак равенства.

Таким образом, неравенства (60) принимают знак равенства

 

(61)

 

С экономической точке зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.

Введя вектор бюджетов (каждая компонента этого вектора характеризует бюджет соответствующей страны). Тогда систему уравнений (61) можно записать в матричной форме

, (62)

Уравнение (62) означает, что собственный вектор структурной матрицы , отвечающий ее собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (62) в виде, позволяющим определять и решать соответствующие задачи

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

(усл. ден. ед.)

Решение. Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению заданной структурной матрицы , т.е. решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

 

Найдем ранг этой системы, для этого преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

 

 

 

 

Поскольку ранг этой системы равен трем, то имеем три основных переменных и одну свободную - . Выразим основные переменные через свободную :

Из последнего уравнения системы находим , далее найденное значение подставляет во второе уравнение системы:

, , ,

 

Из первого уравнения системы, учитывая найденные значения и , найдем значение :

,

 

Итак, , , . Пусть , тогда , , .

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину :

 

, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):

, , , .