Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется n-мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n + 1)-го вектора линейно зависима. Размерность пространства по определению считается равной нулю. Следствие. В n -мерном пространстве любая система из m векторов при m > n линейно зависима. Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные n -мерные пространства называются конечномерными. Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из n векторов. Теорема 3.2. Для того чтобы линейное пространство было n -мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов. ► Достаточность. Дано: в пространстве V существует базис из n векторов (). (3.27) Тогда в V есть линейно независимая система из n векторов (это система (3.27)). Покажем, что любая система из (n + 1)-го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них: (). (3.28) Каждый вектор системы (3.28) можно разложить по базису (3.27). Обозначим – координатные столбцы векторов системы (2) в базисе (1). Тогда (так как эта матрица имеет только n строк). По матричному критерию система (3.28) линейно зависима и, таким образом, . Необходимость. Дано: . Согласно определению, в пространстве существует линейно независимая система из элементов. Пусть () – (3.29) одна из таких систем. Но система () (3.30) линейно зависима. По 4-му свойству линейной зависимости (§ 2) вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3.29), т. е. Таким образом, (3.29) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄ Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в n -мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторов является базисом. Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространства V содержит одинаковое количество векторов. ►Пусть в пространстве наряду с базисом (3.29) есть еще и некоторый базис (), (3.31) состоящий из m векторов (m ≠ n). Рассмотрим два случая: а) m > n. Тогда (3.31) линейно зависима согласно следствию к определению размерности, что противоречит определению базиса. б) m < n. Так как (3.31) – базис пространства , то по теореме 3.2 , поэтому система (3.29) линейно зависима, что противоречит определению базиса. Таким образом, m = n. ◄ Вывод: размерность линейного пространства совпадает с количеством векторов в любом из его базисов. Используя примеры базисов, приведенные в § 3, можно утверждать, что: , , , , , . Примером бесконечномерного пространства может служить пространство всех функций. Упражнение. Докажите, что . Теорема 3.3. В n- мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из m векторов при m < n можно дополнить до базиса. ►Пусть – (3.32) линейно независимая система пространства . Предположим, что при всех система линейно зависима. Тогда на основании свойства 4º § 2, вектор можно выразить через векторы системы (3.32), поэтому (3.32) – система образующих, а значит, и базис пространства , следовательно, , что противоречит условию. Таким образом, найдется вектор такой, что система – (3.33) линейно независима. Если m + 1 = n, то (3.33) – базис пространства . В противном случае с системой (3.33) поступаем так же, как и с системой (3.32). После конечного числа шагов получаем базис пространства .◄
7. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств. Определение. Пусть А – множество элементов произвольной природы, V – действительное линейное пространство. А называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы. 1*. (рис. 3.1). 2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается . Таким образом, (рис. 3.2). Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.
|
|||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 1199; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.171.72 (0.007 с.) |