Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

7.7. Ось. Векторная и скалярная проекции вектора на ось. Найти проекцию вектора n=(2, 1, 3) на ось Х.

8. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычислить , если .

Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами:

10. Условие совпадения двух плоскостей Ax+By+ Cz+D=0, ax+by+cz+d=0

Условие совпадения двух плоскостей

Предложение 2. Плоскости (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все че­тыре их коэффициента пропорциональны, т. е. существует такое число λ, что A ₂ = λ A ₁, B ₂ = λ B ₁, C ₂ = λ C ₁, D ₂ = λ D ₁

Доказательство. Пусть условия (3) выполнены. Тогда уравнение второй плоскости может быть записано так: λ A ₁ x + λ B ₁ y + λ C ₁ z + λ D ₁ = 0.

λ ≠ 0, иначе было бы A ₂ = B ₂ = C ₂ = D ₂ = 0, что противоречит условию n ₂ ≠ 0. Следова­тельно, последнее уравнение эквивалентно уравнению (1), а это означает, что две плоско­сти совпадают.

Пусть теперь, наоборот, известно, что данные плоскости совпадают. Тогда их нор­мальные векторы коллинеарны, т. е. существует такое число λ такое, что

A ₂ = λ A ₁, B ₂ = λ B ₁, C ₂ = λ C ₁.

Уравнение (2) можно теперь переписать в виде: λ A ₁ x + λ B ₁ y + λ C ₁ z + D ₂ = 0.

Умножим уравнение (1) на λ, получим равносильное уравнение первой плоскости (т. к. λ ≠ 0): λ A ₁ x + λ B ₁ y + λ C ₁ z + λ D ₁ = 0.

Возьмём какую-нибудь точку (x ₀, y ₀, z ₀) из первой (а следовательно, и второй) плоскости и подставим её координаты в последние два уравнения; получим верные равен­ства: λ A ₁ x ₀ + λ B ₁ y ₀ + λ C ₁ z ₀ + D ₂ = 0;

λ A ₁ x ₀ + λ B ₁ y ₀ + λ C ₁ z ₀ + λ D ₁ = 0.

Вычитая из верхнего нижнее, получим D ₂ − λ D ₁ = 0, т. е. D ₂ = λ D ₁, QED.
1.11. Линейные операции над векторами. Изобразить в декартовой системе координат линейную комбинацию векторов 2j+k, которые отложены из начала координат.

12. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. Что можно сказать о системе векторов m=(0, 3, 5), n=(0, 2, 7), p=(0,1,1)?

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Система векторов x1, x2, …, xn О X называется линейно зависимой, если существуют числа α1, α2, …, αn О R, не все равные нулю (т.е. α12 + α22 + … + αn2 ≠ 0), такие, что

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = θ.

Если это равенство выполняется только при α1 = α2 = … = αn = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x1, x2, …, xn О X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

13. Максимальная линейно независимая система векторов пространства. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Доказать их единственность.

Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор Будем добавлять к нему векторы так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.

БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [basis of vector space] — набор из максимального (для данного пространства) числа линейно независимых векторов (см. Линейная зависимость векторов). Следовательно, все остальные векторы пространства оказываются линейными комбинациями базисных. Если все базисные векторы взаимно ортогональны, а длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным. Единичный базисный вектор называют ортом (обозначается ei, где i — номер координаты).

Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: a = ∑aiei. Коэффициенты разложения ai однозначно определяют вектор a. Поэтому часто говорят, что n-мерный вектор — это упорядоченная совокупность n чисел {ai}. (См. Вектор.) Размерность векторного пространства равна количеству векторов, составляющих его базис.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Теорема о единственности разложения вектора

По двум неколлинеарным векторам