Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть заданы два вектора и . Составим таблицу скалярных произведений орт:

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения орт

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

 

Пример 1. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора и , лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: =(6;9;-3) и =(6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов: =36-36-0=0.

Отсюда следует, что . Т.е. диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

 

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение косинуса угла между двумя ненулевыми векторами:

 

 

Отсюда следует условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

 

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора в направлении :

 

Векторное произведение и его свойства

Опр:Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, если же поворот виден по часовой стрелке, то тройка векторов является левой.

 

Опр: Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор , который:

· перпендикулярен векторам и ;

· имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , где угол между и

· векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами:

 

Свойства векторного произведения

 

1..При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. .

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. .

3. .

4. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, и наоборот, из равенства нулю векторного произведения следует коллинеарность векторов.

5.

 

 

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть даны два вектора и .

Найдем их векторное произведение, перемножая их как многочлены, используя свойства векторного произведения:

+

Полученную формулу можно записать еще короче

=

Приложения векторного произведения

Площадь параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения двух его смежных сторон: ,

Площадь треугольника, построенного на двух сторонах равна половине модуля векторного произведения:

Условие коллинеарности векторов

Если то и наоборот, т.е.

 

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение векторов и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Обозначается смешанное произведение:

Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

 

Свойства смешанного произведения

 

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестанов­ке его сомножителей, т. е. .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении меняющей у произведения знак.

3.Смешанное произведение ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.