Вычисление определителей второго и третьего порядка

Определители

Вычисление определителей второго и третьего порядка

Квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число, обозначаемое det А (или или ), называемое ее определителем (детерминантом), и вычисляемое по следующим схемам:

1. det А =

2. det А = = +=

 

3. detА = = = = -

 

Пример: Вычислить определители матриц А= , В=

Решение: Det А=

Det В=

Ответ: detA=14, detB=0.

 

 

Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца

Опр: Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка,полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .

Опр: Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на число (-1) :

 

Теорема: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

 

 

Разложение определителя по любой (i-й, где i=1,2,…n) строке:

det

Разложение определителя по любому (j-му, где j=1,2,…n) столбцу:

detA

 

 

Пример: Найти минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы А= .

Решение:

Найдем минор: М = =0+0+2-15-8-0=-21;

Найдем алгебраическое дополнение:

Ответ: ,

Пример: Вычислить определитель матрицы А= .

Решение: Вычислим определитель разложением по третьему столбцу:

Ответ: detA=-24

 

Свойства определителя:

1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы. det A=detA .

2. При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный.

3. Определитель, имеющий две одинаковые, или две пропорциональные строки или столбца равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя, т.е.

5. Определитель, имеющий нулевую строку или столбец равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число. Это утверждение верно и для столбцов.

 

Обратная матрица

Опр: Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е. det A

Опр: Матрицей, обратной к матрице А называется такая матрица , которая удовлетворяет условиям: .

Все матрицы: А, и Е имеют один и тот же порядок.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая может быть найдена по формуле: , где алгебраическое дополнение элемента . Распишем последовательность нахождения обратной матрицы:

 

Правило вычисления обратной матрицы:

1. Вычислить определитель матрицы detA (detA ,в противном случае обратная не существует.)

2. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов:

3. Каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель:

4. Транспонировать полученную матрицу:

5. Результат проверить, умножив А на .

 

Пример: Для матрицы А= найти обратную.

Решение:

1. Находим detA=

2. Составляем матрицу , поэтому

3. Делим элементы на определитель:

4. Транспонируем полученную матрицу:

5. Проверка:

Ответ:

Пример: Для матрицы А= найти обратную.

Решение:

Находим detA=

Составляем матрицу

поэтому

Делим элементы на определитель:

Транспонируем полученную матрицу:

Проверка:

Ответ:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Он применим как для решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей, так и для систем с вырожденной матрицей и для систем, число уравнений которых не совпадает с числом переменных. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных :

 

приводят с помощью эквивалентных преобразований, не меняющих решения системы, к ступенчатому виду(в частности, к верхнетреугольному)

,

решение которой находят следующим образом: выражают .из последнего уравнения, подставляют в предпоследнее, из которого выражается и т.д., из первого уравнения выражается .

Решение однородных систем

Система линейных уравнений называется однородной, если правые части уравнений равны нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Пример: Исследовать однородную систему на совместность, найти решения:

Решение: Расширенную матрицу системы приведем к ступенчатому виду:

восстановим систему:

Система имеет множество решений. и главные переменные, и свободные переменные. Перенесем свободные переменные в правые части уравнений.

Из второго уравнения находим подставляя это выражение в первое уравнение, получим:

Общее решение системы:

Для нахождения частных решений, свободным переменным даем произвольные значения:

 

Элементы векторной алгебры

Векторы

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными.

Вектор -это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А- начало вектора, а В- его конец, то вектор обозначается символом , или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка AB и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначаются коллинеарные векторы ║

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково, т.е. быть сонаправленными ( ), или быть противоположно направленными ().

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными (), если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора перемешать в любую точку пространства.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или хотя бы два коллинеарные, то такие векторы будут компланарны.

Разность векторов

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что

Если совместить начала двух векторов и , достроить до треугольника, то вектором- разностью является третья сторона,, направленная в сторону уменьшаемого вектора .

 

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой на векторов и , а другая - разностью этих векторов.

 

Умножение вектора на число

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

·

· , т.е. векторы и коллинеарны

· , если , если

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

Эти свойства позволяют производить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

 

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось , т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось называется основание М перпендикуляра ММ , опущенного из точки на ось.

Если точка М и ось находятся в трехмерном пространстве, то точка М есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси .

Если точка М лежит на оси , то проекция точки М на ось совпадает с самой точкой М.

Пусть произвольный вектор (). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Обозначим соответствующие проекции:

Проекцией вектора на ось называется число:

, если и сонаправлены,

, если и противоположно направлены,

, если , или .

 

Свойства проекций:

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла, составленного вектором с осью

На рисунке положительна, т.к.0< < .

отрицательна, т.к. .

 

 

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3. При умножении вектора на число, его проекция также умножается на это число.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

 

Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме:

Пусть заданы два вектора: и , тогда:

1.

2.

3.

Условие коллинеарности векторов: - т.е. проекции коллинеарных векторов пропорциональны.

Док-во:Так как условие параллельности векторов можно записать в виде: , откуда , таким образом, условие коллинеарности в координатном виде:

 

 

Произведения векторов

Прямая на плоскости

Линия на плоскости

Линия на плоскости рассматривается, как множество точек, обладающих только им присущим геометрическим свойством. Введение декартовой системы координат на плоскости позволяет определить положение произвольной точки ее координатами, а положение линии на плоскости определяется с помощью уравнения. Если уравнение линии имеет вид F(x,y)=0, то любой паре чисел (x,y), удовлетворяющей данному уравнению, соответствует точка М(х,у), принадлежащая линии, и наоборот, координаты любой точки линии обращают ее уравнение в верное тождество.

Если две линии на плоскости заданы своими уравнениями , то задача о пересечении этих линий сводится к решению системы двух уравнений с двумя переменными:

Решениям системы соответствуют координаты точки пересечения заданных линий.

Простейшей из линий является прямая.

 

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке .

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, После преобразований получим:

 

 

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

 

Угол между прямыми

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:, тангенс и косинус которых отличаются знаком. Приведены формулы для вычисления острого угла между прямыми.

Если две прямые заданы своими общими уравнениеми:

, нормаль к прямой :

, нормаль к прямой :

Угол между прямыми есть угол между нормалями к прямым

Условие перпендикулярности:

Условие параллельности:

Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

то вычисляется тангенс угла между прямыми:

Точка пересечения прямых

Пусть две прямые заданы своими общими уравнениями:

,

Чтобы найти общую точку, необходимо решить систему двух уравнений с двумя переменными. , если система несовместна, то прямые параллельны.

 

Проекция точки на прямую

Пусть необходимо спроектировать точку на прямую Ах+Ву+С=0. проекцией точки на прямую является основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Нормалью к данной прямой является вектор . Составим уравнение проецирующей прямой. Она проходит через точку и параллельна вектору . Подставив координаты точки и вектора в каноническое уравнение прямой , получим: . Теперь необходимо найти координаты точки пересечения данной прямой и проектирующей, для чего объединим их в систему: решение этой системы есть координаты точки, являющейся проекцией точки на прямую

 

Пример: Даны вершины треугольника : ; ; . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

Решение: 1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

; , .

Ответ: .

2) Составим уравнение стороны :

, , ,

.

Найдем точку пересечения высоты и стороны .Обозначим эту точку N, она является проекцией точки А на сторону ВС. Для нахождения точки N, решим следующую систему уравнений:

Ответ: N .

3) Найдем середину стороны :

, , , .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку М :

, , ,

.

Найдем середину стороны :

, .

, .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку N :

 

, , ,

.

Найдем точку О пересечения найденных медиан:

Ответ: О .

 

Плоскость

Общее уравнение плоскости

Алгебраическое уравнение первой степени в пространстве определяет плоскость. Общее уравнение плоскости можно записать в виде:

Ax+ By+ Cz+ D=0

Любую плоскость можно представить в виде такого уравнение единственным способом. с точностью до коэффициента (т. е. при умножении уравнения на число, полученное уравнение задает ту же плоскость) Плоскость в пространстве можно задать различными способами, рассмотрим некоторые из них:

 

Основные задачи

Угол между плоскостями

Пусть заданы две плоскости

.

Углом между плоскостями называется один из двухгранных углов, образованных при пересечении этих плоскостей. Выпишем нормали к плоскостям: и . Угол между плоскостями равен углу между нормалями к плоскостям, т.е. Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

 

 

Условие перпендикулярности плоскостей:

 

, это условие в векторной форме: , или в координатной форме:

Условие параллельности плоскостей:

, или в координатной форме: координаты векторов должны быть пропорциональны:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка: и плоскость: расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:

 

 

Прямая линия в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Пусть заданы две плоскости:

Если они не параллельны, т.е. координаты нормалей к плоскостям и не пропорциональны, то система:

определяет прямую линию в пространстве. Такой способ задания называют общим уравнением прямой.

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, параллельно данному вектору

 

Пусть необходимо составить уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно заданному вектору .Возьмем произвольную точку М(x,y,z) на прямой .

Вектор параллелен вектору , следовательно, их координаты пропорциональны:

Данный способ задания прямой называется прямая по точке и направляющему вектору . Уравнение прямой получено в каноническом виде.

 

Кривые второго порядка

Алгебраическое уравнение второго порядка на плоскости описывает кривую второго порядка, другими словами, любое уравнение вида определяет либо одну из кривых: эллипс, гипербола, парабола; либо распадается на две прямые, ибо точек, удовлетворяющих данному уравнению на плоскости нет.

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса, с центром в начале координат:

Полуосями этого эллипса являются по оси ОХ- отрезок а, и по оси ОУ- отрезок b. Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии: ось ОХ и ось ОУ. Четыре вершины: точки с координатами (-а;0); (а;0); (0;-b); (0;b). Если величина а b, то . На большей оси в точках с координатами и (с, 0) находятся фокусы эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется ,т.е. отношение половины расстояния между фокусами к большей полуоси. Для эллипса

Характеристическое свойство эллипса: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, постоянна и равна удвоенной большей полуоси.

-каноническое уравнение эллипса,

центр симметрии которого находится в точке Q(,

полуоси эллипса: по ОХ равна a, по оси ОУ равна b.

Фокусы находятся в точках:

Пример: Построить эллипс, каноническое уравнение которого:

,найти его фокусы и эксцентриситет.

Решение: Центром симметрии эллипса является точка Q(2; -3), полуоси эллипса: а=3; b=2; ; фокусы эллипса находятся в точках: .

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы, с центром в начале координат:

 

Полуосями этой гиперболы являются по оси ОХ- отрезок а, и по оси ОУ- отрезок b. Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии: ось ОХ и ось ОУ. Четыре вершины: точки с координатами (-а;0); (а;0); (0;-b); (0;b). Если величина , то полуось а называется действительной, b-мнимой. . На продолжении действительной оси в точках с координатами и (с, 0) находятся фокусы гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называется ,т.е. отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси. Для гиперболы

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:

 

Гиперболой, сопряженной к данной, называется гипербола:

Для этой гиперболы а- мнимая полуось, b-действительная. . Фокусы находятся в точках: и (0, с).

 

Характеристическое свойство гиперболы: