Прямая, проходящая через точку, параллельно данному вектору

Опр: Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный данной прямой.

Составим уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно вектору .

 

Возьмем произвольную точку М(х,у), принадлежащую прямой, составим вектор . Векторы должны быть коллинеарны, следовательно. Их координаты должны быть пропорциональны, т.е.

 

Данная форма записи уравнения прямой называется каноническое уравнение прямой. Для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение в общий вид, необходимо разрешить пропорцию: ; ;

Прямую, заданную в каноническом виде можно представить в параметрическом виде, для этого введем параметр p, и каждое отношение приравняем к параметру t. Решим полученные уравнения относительно x и y:

 

; ;

Получено параметрическое уравнение прямой линии на плоскости.

 

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Составим уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Подставим координаты точки и координаты направляющего вектора в каноническое уравнение прямой, получим:

 

 

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке .

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, После преобразований получим:

 

 

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Опр: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла между прямой и положительным направлением оси ОХ. Обозначается угловой коэффициент: k=tg , где - угол между прямой и положительным направлением оси ОХ.

b- отрезок, который прямая отсекает на оси ОУ

уравнение — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

 

Если прямая проходит через начало координат, то b= 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = кх.

 

Если прямая параллельна оси Ох, то = 0, следовательно, k= tg = 0 и уравнение примет вид у = b.

 

Если прямая параллельна оси Оу, то уравнение имеет вид: х = а

где а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Прямая, проходящая через точку, в данном направлении

 

Пусть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется конкретным угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде:

 

 

Уравнение с различными значениями к называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке .В этом пучке нельзя определить лишь прямую, параллельную ори Оу.

 

Угол между прямыми

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:, тангенс и косинус которых отличаются знаком. Приведены формулы для вычисления острого угла между прямыми.

Если две прямые заданы своими общими уравнениеми:

, нормаль к прямой :

, нормаль к прямой :

Угол между прямыми есть угол между нормалями к прямым

Условие перпендикулярности:

Условие параллельности:

Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

то вычисляется тангенс угла между прямыми:

Точка пересечения прямых

Пусть две прямые заданы своими общими уравнениями:

,

Чтобы найти общую точку, необходимо решить систему двух уравнений с двумя переменными. , если система несовместна, то прямые параллельны.

 

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы координаты точки и уравнение прямой : Ах+Ву+С=0

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую:

 

 

Проекция точки на прямую

Пусть необходимо спроектировать точку на прямую Ах+Ву+С=0. проекцией точки на прямую является основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Нормалью к данной прямой является вектор . Составим уравнение проецирующей прямой. Она проходит через точку и параллельна вектору . Подставив координаты точки и вектора в каноническое уравнение прямой , получим: . Теперь необходимо найти координаты точки пересечения данной прямой и проектирующей, для чего объединим их в систему: решение этой системы есть координаты точки, являющейся проекцией точки на прямую

 

Пример: Даны вершины треугольника : ; ; . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

Решение: 1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

; , .

Ответ: .

2) Составим уравнение стороны :

, , ,

.

Найдем точку пересечения высоты и стороны .Обозначим эту точку N, она является проекцией точки А на сторону ВС. Для нахождения точки N, решим следующую систему уравнений:

Ответ: N .

3) Найдем середину стороны :

, , , .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку М :

, , ,

.

Найдем середину стороны :

, .

, .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку N :

 

, , ,

.

Найдем точку О пересечения найденных медиан:

Ответ: О .

 

Плоскость

Общее уравнение плоскости

Алгебраическое уравнение первой степени в пространстве определяет плоскость. Общее уравнение плоскости можно записать в виде:

Ax+ By+ Cz+ D=0

Любую плоскость можно представить в виде такого уравнение единственным способом. с точностью до коэффициента (т. е. при умножении уравнения на число, полученное уравнение задает ту же плоскость) Плоскость в пространстве можно задать различными способами, рассмотрим некоторые из них: