Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление

Определение 1. Углом между векторами и называется наименьший угол между этими векторами, отнесенными к общему началу.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

Обозначения или .

 

 

 

 

 

Свойства скалярного произведения.

1). Коммутативность: , следует из определения.

2). .

Доказательство. .

3).

Доказательство. .

4).

Доказательство. .

Из этого свойства следует, что , .

5). Для того, чтобы векторы были перпендикулярны , необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю .

Доказательство.

а) Пусть векторы перпендикулярны и , тогда ,следовательно, и .

б) Пусть , тогда , следовательно, .

6). - острый;

- тупой.

7.Для базисных ортов имеют место следующие соотношение

 

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат

Пусть даны два вектора , найдем их скалярное произведение

воспользуемся свойством 7, получим формулу

(2)

 

Приложения скалярного произведения

1.Вычисление проекции

(3)

2.Вычисление косинуса угла между векторами

(4)

3.Условие перпендикулярности векторов

Пример. Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами.

Решение. Воспользуемся формулой (2.19): вычисляем

, ,

Получаем .

Лекция 5

Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление.

Даны три вектора с общим началом и не лежащие в одной плоскости.

Определение 1. Тройка векторов называется правой (левой), если кратчайший поворот от к виден из конца вектора происходящим против (по) часовой стрелки.

 

Если в тройке поменять местами какие-то два вектора, а третий оставить на своем месте, то тройка изменит свою “ориентацию”. Например, если - правая тройка, то - левая тройка. При циклической перестановке векторов в тройке “ориентация” тройки не меняется. Например, если - правая тройка, то - тоже правая тройка.

Смысл декартовой тройки должен соответствовать выбранному правилу.

 

 

Определение 2. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим свойствам:

1. он перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости векторов и ;

2. длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть ;

3. тройка - правая.

Обозначения или .

 

Свойства векторного произведения

1) Антикоммутативность:

Доказательство. Пусть , построим вектор . , то есть

длины векторов и равны, но чтобы тройка векторов была правой, вектор должен быть противоположен вектору , следовательно, .

 

2). Если в векторном произведении изменить знак одного из множителей, то произведение тоже изменит знак: .

Доказательство.

 

 

 

3).

Доказательство. а) Для очевидно;

б) для : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в раз, то площадь параллелограмма тоже изменится в раз;

в) для : .

4). .

 

Доказательство. Возьмем единичный вектор , перпендикулярный плоскости , . Спроектируем вектор на плоскость , получим вектор , повернем его в плоскости вокруг точки по часовой стрелке на : а) ;

б) (так как , (так как , а - проекция тогда по теореме о трех перпендикулярах выполняется этот факт);

в) - правая тройка, следовательно, .

 

 

Вектор . В . Спроектируем данный треугольник на плоскость , получим , повернем его в плоскости по часовой стрелке на ,

получим . .

Так как , то .

, тогда , следовательно,

.

 

5). .

6). Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.

Доказательство.

а) Пусть векторы и коллинеарны, следовательно, или

, тогда и , нулевую длину имеет только нулевой вектор, то есть ;

б) Пусть , тогда , но , следовательно,

, а это значит, что и коллинеарны.

7). .

8). Векторные произведения базисных ортов можно представить в виде таблицы:

			-

Пояснение: векторное произведение - это вектор, перпендикулярный векторам и , длина которого равна площади квадрата, построенного на векторах и , то есть равна 1, а тройка векторов - правая тройка, отсюда следует, что . Остальные произведения можно получить, используя свойства векторного произведения.

 

 

Векторное произведение в декартовой системе координат

Пусть , найдем их векторное произведение.

.

Приложения векторного произведения

Вычисление площадей.

Если на векторах и построен параллелограмм, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

Если на векторах и построен треугольник, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

На плоскости векторное произведение не определено, а площадь параллелограмма вычисляется следующим образом:

.

 

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Воспользуемся формулой. Для этого сначала вычислим векторное произведение данных векторов

, тогда

.

 

Лекция 6