Скалярное произведение Дубль Два

Скалярное произведение

 

Скалярное произведение векторов и :

 

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

 

Если то

Угол между векторами

 

Векторное произведение

 

Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:

1) ( - угол между векторами и , );

2)

3) тройка , , - правая.

Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

 

TRIPPLE VECT ОЙКИ МАТЬ ИХ

11.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат.

Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто трой-

кой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой

- вторым и какой - третьим.

При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке

их следования. Так, запись bac означает, что первым элементом тройки является

вектор b, вторым - вектор a и третьим - вектор c.

Определение. Тройка не компланарных векторов abc называется правой (левой),

если выполнено одно из следующих трех условий:

1. если, будучи приведены к общему началу, эти векторы распо-

лагаются так, как могут быть расположены соответственно

большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой

(левой) руки;

2. если после приведения к общему началу вектор c располагает-

ся по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и

b, откуда кратчайший поворот от a к b кажется совершаю-

щимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);

3. если, находясь внутри телесного угла, образованного приведен-

ными к общему началу векторами a, b, c, мы видим поворот

от a к b и от него к c совершающимся против часовой стрелки

(по часовой стрелке).

Легко проверить, что условия 1, 2 и 3 эквивалентны между собой. Заметим

также, что понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных

векторов.

Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются

левыми, то говорят, что эти тройки одной ориентации. В противном случае

говорят, что рассматриваемые две тройки противоположной ориентации.

Всего из трех векторов a, b и можно составить следующие шесть троек:

abc, bca, cab,

bac, acb, cba.

Тройки abc, bca, cab - правые, а bac, acb, cba - левые.

 

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна
2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и
3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов и – правая).

Векторное произведение обозначается квадратными скобками:

Свойства векторного произведения:

• векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;
• векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору;
• координаты векторного произведения векторов и следующие
• 

27. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле