Матрицы, сложения, вычитание, умножение

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).
Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу: А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Действие пятое. Умножение матриц

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицыравнялось числу строк матрицы.

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

Обратите внимание, что! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

 

Определители, свойства, алгебраические дополнения, вычисления

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

 

1. Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:

1) нулей побольше;
2) числа поменьше.

Из чего следует важный факт: строки и столбцы определителя равноправны.

2. Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,
то определитель сменит знак

То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный.

3. Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.

Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.

4. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны
(как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю

Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Какие свойства определителей полезно знать?

1) Величина определителя не меняется при транспонировании. Свойство запоминаем.

2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.

3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно). Используем там, где это выгодно.

Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

 

Система линейных уравнений теорема Крамера

Запись систем линейных уравнений в матричной форме