Угол между двумя плоскостями. Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей. Взаимное расположение трех плоскостей

Зададим две плоскости

(14)

Мы знаем, что векторы и перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол между и равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение

,

поэтому

. (15)

Достаточно считать, что .

Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла и Их сумма равна , а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (). Если заменить в первом уравнении (14) числа , , соответственно на числа , , , то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол в (15) заменится на .

Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда , т. е.

. (16)

Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы и коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности

. (17)

Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности

, (18)

то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т.е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость. Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями. Но тогда, если, например, , то надо и . Или если , то .

Пример 1. Уравнения

определяют пару параллельных плоскостей, а уравнения

- пару совпадающих плоскостей.

Пусть относительно ПДСК заданы три плоскости π1, π2, π3 своими общими уравнениями: A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0, A3x+B3y+C3z+D3=0.

Введем следующие обозначения: Определим через n1, n2, n3 нормальные векторы π1, π2, π3, то есть n1={A1, B1, C1}, n2={A2, B2, C2}, n3={A3, B3, C3}. Сформулируем следующие утверждения, выражающие необходимые и достаточные условия взаимного расположения плоскостей π1, π2, π3. Если δ≠0, то плоскости π1, π2, π3 имеют единственную точку пересечения. A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0, A3x+B3y+C3z+D3=0. Если rang m=2, rang M=3 и среди векторов n1, n2, n3 нет коллинеарных, то все три плоскости попарно пересекаются, причем прямые пересечения попарно различны. Если rang m=2, rang M=3 и среди векторов n1, n2, n3 есть два неколлинеарных, то две плоскости параллельны друг другу, а третья их пересекает. Если rang m=2, rang M=2 и среди векторов n1, n2, n3 нет коллинеарных, то все три плоскости пересекаются по одной прямой. Если rang m=2, rang M=2 и среди векторов n1, n2, n3 есть два коллинеарных, то две плоскости совпадают, а третья плоскость их пересекает по одной прямой. Если rang M=1, то все три плоскости совпадают. Если rang m=1 и коэффициенты любых двух уравнений плоскостей π1, π2, π3 непропорциональны, то все три плоскости параллельны друг другу. Если rang m=1 и коэффициенты любых двух уравнений плоскостей π1, π2, π3 пропорциональны, то две плоскости совпадают, а третья им параллельна.

 

30. Прямая как линия пересечения двух плоскостей Пусть относительно ПДСК заданы две плоскости своими общими уравнениями, пересекающихся по некоторой прямой: α: A1x+B1y+C1z+D1=0. β: A2x+B2y+C2z+D2=0. Запишем канонические уравнения прямой, полученные в результате пересечения плоскостей α и β. Пусть x0, y0, z0 - какое-либо решение {A1x+B1y+C1z+D1=0. {A2x+B2y+C2z+D2=0. Точка M0(x0, y0, z0) принадлежит прямой пересечения плоскостей α и β. Покажем, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор a с координатами {B1 C1 C1 A1 A1 B1} {B2 C2,C2 A2,A2 B2}. В самом деле, в силу необходимого и достаточного условия компланарности вектора и плоскости имеем N1={A1, B1, C1}, N2={A2, B2, C2}.

Так как определитель содержит две одинаковые строки, то направляющий вектор прямой, полученный в результате пересечения плоскостей α и β, компланарен плоскости α, а значит, и сама прямая компланарна плоскости α. Аналогично проверяем компланарность направляющего вектора прямой и плоскости β. Таким образом, вектор а можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой, полученной в результате пересечения плоскостей α и β. Каноническое уравнение прямой имеет вид:

 

Угол между двумя прямыми

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле:

Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k ₁ = k ₂. (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Пересекающимися, скрещивающиеся, паралельные

 

32. прямая м плоскость. Угол между прямой и плоскость. Паралельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Вазимное расположение прямой и плоскости