Базис в пространстве и на плоскости. Разложение по базису

(2.1)

где представляют собой произвольные действительные числа. Векторы являются линейно зависимыми, при условии , что линейная комбинация (2.1) равняется нулю, а в противном случае они будут линейно независимыми.

Проанализируем линейную зависимость векторов на плоскости и в пространстве.

Т.1: Два вектора являются коллинеарными в том и только в том случае, когда они линейно зависимы ■

□ Поскольку согласно условию векторы — коллинеарны являются линейно зависимыми ()

Следствие: Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Рис. 2.5

Т.2: Пусть векторы и являются неколлинеарными, в этом случае любой компланарный с ними вектор представляется исключительным образом как их линейная комбинация ■

□ Поместим начала векторов и (рис. 2.5). В этом случае . Допустим, что найдутся , для которых также . Согласно свойствам линейных операций получаем , и отсюда в силу следствия Т.1 ,

Из Т.2 и её доказательства имеем следствие.

Следствие. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Т.3: Допустим, что некомпланарны, тогда всякий вектор в пространстве единственным образом представляется как их линейная комбинация ■

□ Помещаем начала векторов и в т. (рис. 2.6). В этом случае согласно Т.2 вектор и

Следствие: Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Рис. 2.6

О: Базисом на плоскости и пространстве именуется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов (при добавлении к системе ещё одного вектора система становится линейно зависимой).

Следовательно, базисом на плоскости будут всякие два неколлинеарных вектора, которые взяты в определённом порядке, а базисом в пространстве будут всякие три некомпланарных вектора, которые взяты в определённом порядке.

Пусть пространства будет разлагаться единственным образом по базисным векторам в базисе .

Запись через координаты линейных операций над векторами:

а) сложение и вычитание:

— базис

 

б) Умножение на число :

.

Формулы вытекают из свойства линейных операций.

Задача. в базисе .

Найти координаты в этом же базисе.

◄ ►

Стоит отметить, что если векторы и , будут пропорциональны: и наоборот.

 

37. прямые второго порядка эллипс гипербола парабола
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Общий вид линии второго порядка:

. (1)

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

1. Окружность
Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
(2)

где - радиус окружности, и - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид

(3)

Рис. 2

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках и :

(4)

где и - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты эллипса связаны соотношением

Рис. 3

 

Если центр эллипса находится в точке , то уравнение эллипса имеет вид:

(5)

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках и имеет вид:

(6)

где - действительная полуось,

- мнимая полуось.

Коэффициенты и гиперболы связаны соотношением .

Прямые - асимптоты гиперболы.

Рис. 4

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

(7)

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

, (8)

где - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты .

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид: