Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема.

Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.

Доказательство.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Докажем, что через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b, притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.

Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a₁.

В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a₁ проходит единственная плоскость. Обозначим ее .

Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости (так как прямая a параллельна прямой a₁, лежащей в плоскости ).

Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М₁, через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a, и из точки М₁ опустим перпендикуляр М₁H₁ на плоскость . Длина перпендикуляра M₁H₁ есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

К началу страницы

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b, то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть - плоскость, проходящая через прямую b, параллельно прямой a. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М₁, лежащей на прямой a, до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты некоторой точки М₁, лежащей на прямой a, и получимнормальное уравнение плоскости в виде , то мы сможем вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле (эта формула была получена в статьенахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М₁, лежащей на прямой a, и к нахождению нормального уравнения плоскости .

С определением координат точки М₁ сложностей не возникает, если хорошо знать основныевиды уравнений прямой в пространстве. А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты некоторой точки М₂, через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости как .

В качестве точки М₂ можно взять любую точку, лежащую на прямой b, так как плоскость проходит через прямую b. Таким образом, координаты точки М₂ можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a. Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и , то есть, . Определив координаты и направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты нормального вектора плоскости .

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

· определить координаты и точек М₁ и М₂ соответственно, лежащих на прямых a и b соответственно;

· получить координаты и направляющих векторов прямых a и b соответственно;

· найти координаты нормального вектора плоскости , проходящей через прямую b параллельно прямой a, из равенства ;

· записать общее уравнение плоскости как ;

· привести полученное уравнение плоскости к нормальному виду ;

· вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле - это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

Разберем решение примера.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве вида , а прямую b – канонические уравнения прямой в пространстве . Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Решение.

Очевидно, прямая a проходит через точку и имеет направляющий вектор . Прямая b проходит через точку , а ее направляющим вектором является вектор .

Вычислим векторное произведение векторов и :

Таким образом, нормальный вектор плоскости , проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты .

Тогда уравнение плоскости есть уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости равен . Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид .

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости :

Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.