Скалярное и векторное произведения

Скалярное произведение

Из двух векторов и можно образовать скаляр по правилу:

Это выражение называется скалярным произведением векторов и и обозначается одним из символов , или .

Следовательно, ^. = .

По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) ,

2) ,

3)

Векторное произведение

Из двух векторов и можно образовать новый вектор:

, где

Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:

.

Эта операция называется векторным произведением векторов и и обозначается одним из символов или .

Также общеизвестна формула

,

где - угол между векторами и .

Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называется правилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).

 

В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.

Производная и интеграл

Производная и ее применения

Пусть функция у=f(х) определена в точках х и х₁. Разность х₁ - х называется приращением аргумента, а разность f(х₁) - f(х) - приращением функции при переходе от значения аргумента х к значению аргумента х₁. Приращение аргумента обозначают , приращение функции обозначают или .

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , то функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х, а этот предел называется значением производной функции у=f(х) в точке х и обозначается или .

Операцию отыскания производной называют дифференцированием.

 

Cписок производных простейших элементарных функций

1.

2. , а – любое число

3. , в частности

4. , в частности, при :

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

 

Если функции и дифференцируемы в точке х, то:

- Их сумма дифференцируема в точке х и (теорема о дифференцировании суммы);

- Произведение функций и дифференцируемо в точке х и (теорема о дифференцировании произведения);

- Частное функций и дифференцируемо в точке х, если , и (теорема о дифференцировании частного).

Первообразная и интеграл

Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция f(х). По определению функция F(х) называется первообразной функцией для f(х) на интервале (а, b), если на нем производная от F(х) равна f(х):

Очевидно, что если функция - первообразная для f(х) на (а,b), а С – некоторая постоянная, то функция есть также первообразная для f(х), потому, что

Если F(х) какая-либо первообразная от f(х) на интервале (а, b), то возможные первообразные от f(х) на этом интервале выражаются формулой , где вместо С можно подставить любое число.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции f(х) на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:

.

Если , – непрерывные на интервале (а, b) функции и , и – постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:

,

где С – некоторая постоянная.

 

Список основных неопределенных интегралов

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8.

9.

10. ;

 

11.

 

 

12. ;

 

13. ;

 

14.

 

 

3.Задания для контрольной работы по дисциплине

«Введениие в физику»

 

Основы векторной алгебры

1-1. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-2. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

1-3. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

1-4. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

 

1-5. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

 

1-6. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

1-7. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

 

1-8. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

 

1-9. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

 

1-10. Найдите

а) модуль суммы

б) разности двух векторов и .

в) скалярное произведение векторов ^.

г) косинус угла между векторами и

д) векторное произведение двух векторов и

Решить задачу графически и аналитически.

 

Прямая задача кинематики