Линейные операции над векторами в координатной форме

Рассмотрим в пространстве прямоугольную декартову систему координат (ПДСК) (см. рис. 3) и в ней вектор .

На координатных осях рассмотрим соответственно единичные векторы , , (, ), которые назовем ортами ПДСК . Тройку векторов , , назовем базисом ПДСК . Рассмотрим проекции вектора на оси соответственно. Тогда числа назовем координатами вектора в ПДСК и обозначают .

Разложение вида

(4.1)

называется разложением вектора по базису , , .

Введя координаты вектора, можно определить линейные операции над векторами в координатной форме. Пусть , – векторы, заданные своими координатами. Тогда

,

,

,

.

Векторы , коллинеарные, если выполняется условие пропорциональности

( – коэффициент пропорциональности). (4.2)

Пример. Даны векторы , , . Найти координаты вектора . Проверить, являются ли коллинеарными (параллельными) векторы и .

Решение. Согласно формулам имеем

2 + –3 = + – = = – = .

Итак, вектор имеет координаты .

Вектор = + = , вектор имеет координаты = – = . Составляем условие (4.2) и проверим, будет ли оно выполняться или нет для векторов и :

.

Очевидно, что это условие не выполняется: , значит, векторы и не коллинеарны.

Пусть заданы координаты начальной и конечной точек вектора, надо найти координаты вектора. Начальная точка , конечная точка ─ . , следовательно, .

 

 

Длину вектора можно найти по формулам:

Рассмотрим задачу деления отрезка в заданном отношении. Пусть точка делит отрезок так, что

или , тогда

, , отсюда следует, что

, если из этого равенства выразить , получим формулу

или в координатной форме

Если точка делит отрезок пополам, то есть , то

.

Лекция 3

Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.

Основные критерии (свойства) линейной зависимости,

Независимости системы векторов

Определение 1. Векторы называются линейно независимыми, если равенство

(1)

выполняется только при условии . Если в равенстве (1) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы называются линейно зависимыми.

 

Теорема 1. Система ненулевых векторов зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор линейно выражается через остальные.

Доказательство.

а) Пусть векторы линейно зависимы, тогда в равенстве (2.2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, .В этом случае получаем

,

то есть вектор линейно выражается через остальные.

б) Пусть какой-то из векторов линейно выражается через остальные, например, вектор , то есть

,

тогда , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависимы.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

Доказательство.

а) Пусть векторы и линейно зависимы, тогда один из векторов линейно выражается через другой, например, , а это и означает, что векторы коллинеарны.

б) Пусть векторы и коллинеарны, то есть , значит, , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависимы.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.

Доказательство.

а)Пусть векторы линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через остальные, например, , отнесем эти векторы к одному началу, проведем через векторы и плоскость , тогда векторы и будут тоже принадлежать этой плоскости, следовательно, вектор принадлежит плоскости , то есть векторы компланарны.

б) Пусть векторы компланарны, перенесем их в одну точку плоскости, если векторы и

не коллинеарны, то , то есть линейно выражается через и , это означает,

что векторы линейно зависимы; если векторы и коллинеарны, то есть , то

, значит вектор линейно выражается через векторы и , следовательно, векторы

линейно зависимы.

Определение 2. Совокупность линейно независимых векторов таких, что любой вектор линейно выражается через эти векторы, называется базисом.

Из приведенных теорем следует, что на плоскости базисом могут быть любые два неколлинеарных вектора, в пространстве базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

Если векторы образуют базис, то произвольный вектор линейно выражается через эти векторы, то есть

,

тогда числа являются координатами вектора в данном базисе, .

Лекция 4