Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

 

Размерность и базис линейного пространства, координаты вектора

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если сущ/ натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство X_n, где n = dimX_n — размерность пространства X_n.

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания. 1)Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. 2)Если в линейном пространстве сущ/любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

 

 

12)

13) Скалярным произведением (ā,b) двух векторов а и b наз. число, равное произведению длины этих векторов на косинус угла ȹ между ними:

(ā,b)= ā*b= │ ā ││b│cos ȹ.

Эвклидово пространство- Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется число так, что и выполняются аксиомы:

1.

2.

3.

14.Пусть плоскость Q проходит через точку М₀ (x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору

n =(А,В,С). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Оxyz.Вектор n называется нормальным вектором плоскости Q. Возьмём в плоскости Q произвольную точку М(x,y,z). Тогда вектор М₀М =(x-x_0,y-y_0, z-z₀),будет перпендикулярен вектору n=(А,В,С). Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. (n, М₀М)=0

Представим уравнение плоскости,перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку М₀ (x₀,y₀,z₀)

А(x-x₀)+В(y-y₀)+С(z-z₀)= 0

Уравнение плоскости,записанное в виде

Ax + By + Cz + D=0,где D= -Ax₀ -By ₀-Cz ₀ ,называется общим уравнением плоскости.

15) Угол между плоскостями

Пусть плоскости П₁ и П₂ заданы соответственно уравнениями и .

Требуется найти угол альфа между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры l₁ и l₂ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей П₁ и П₂ с началами в точке

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей П₁ и П₂, то прямые l₁ и l₂ и изображения векторов n₁ и n₂ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями П₁ и.Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как то в обоих случаях .По определению скалярного произведения . Откуда и соответственно

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула позволяет найти косинус острого угла между плоскостями. Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей где -- любое число.

 

16)Ур/ прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) и B(x₁,y₁,z₁)наз. равенство:

 

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Если прямые заданы след. урав:A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0

тогда направляющие векторы этих прямых будут равны: a₁ = (- B₁; A₁) и a₂ = (- B₂; A₂)

Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

из этой формулы получим:

Выразим угол φ:

Из последней формулы получим:

Если прямые параллельны, то k1=k2 и b1≠b2

Если прямые перпендикулярны, то k1*k2=-1

Если прямые пересекаются, то k1≠k2

Если прямые совпадают, то k1=k2 и b1=b2

 

Матрицы

Матрицей А размера m на n наз.прямоугольная таблица из m строк и n столбцов,состоящая из чисел или иных матем.выражений .Квадратной матрицей n-го порядка наз.матрица размера n на n.Диагональной наз.квадратная матрица,у котрой все элементы вне главной диагонали равны 0.Единичной наз.диагональная матрица с единицами на главной диагонали.Нулевой наз.матрица,все элементы которой равны 0.

Операции над матрицами

Суммой матриц А= и B= одинакового размера наз.матрица С= того же размера.Свойства операции сложения матриц.Для любых матриц А,B,C одного размера выполняются равенства:1)A+B=B+A 2)(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

Произведение матриц А= на число j наз.матрица B= того же размера,что и матрица А.Свойства операции умножения матрицы на число:1)j(

Свойства операции умножения1)(A B)C=A(BC)=ABC 2)(A+B)C=AC+BC 3)A(B+C)=AC+BC 4)AB

Транспонированной к матрице А= наз.матрица =() такая,что .Элемент строки матрицы назовём крайним,если он отличён от 0,а все элементы этой строки,находящиеся левее него,равны 0.Матрица наз.ступенчатой,если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки

Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).

 

Определители

Определитель 2-го порядка задаётся равенством: ).Опредилитель 2-го порядка есть сумма 2=2!слагаемых,каждое из кот. представляет собой произведение 2-х сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одно из слогаемых берется со знаком +,другое-со знаком -.

Определитель 3-го порядка задаётся равенством:

Определитель3-го порядка есть сумма 6=3! Слагаемых,каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одна половина слагаемых берётся со знаком +,другая со знаком -.

19)Алгеброическим дополнением к элементу квадратной матрицы А= наз.произведение *

Определитель n-го порядка задаётся равенством: = .Указанная сумма состоит из n!слагаемых,каждое из которых представляет собой произведение

 

Сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одна половина слагаемых берется со знаком +,другая мо знаком -.

20)Обратной матрицей к квадратной матрице А наз.такая матрица,что *А=А* =Е.Присоединенной матрицей к квадратной матрице А= ,наз матрица = ,получ.транспонированием из матрицы,составленной из алгебраических дополнений

Если квадратеая матрица А-невырожденная,то .

Алгоритм нахождения:1)Вычислим определитель матрицы А,если опр.=0,то обратная матрица не сущ.2)Если опред.не равен 0,то обратная матрица сущ.Находим алгеброическое дополнение элементов матрицы А и составляем матрицу из них = 3)Транспонируем матрицу и получ.присоединённую матрицу 4)Находим обратную матрицу по формуле = 5)Осущ.проверку А* =

21) Пусть K - поле, , , . Если , то называется собственным числом матрицы A, а - собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу .

22)Системы линейных уравнений.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь m — колич. Урав., а n — колич. неизвестных.

Система линейных урав. может быть представлена в матричной форме как:

Правило Крамера.Если определитель матрицы А отличен от 0, то система имеет единственное решение определяемое из форм.X_i= где определитель полученный из определителя матрицы А с заменой i-того столбца столбцом свободных членов.