Системы координат в пространстве: декартовы

Полярная система

Полярная система координат задаётся т.О,наз.полюсом,лучом Ор,наз.полярной осью,и единичным вектором того же направления,что и луч Ор.

r

M(r, )

Положение т.М на плоскости определяется двумя числами:её расстоянием r от полюса О и углом образованным отрезком ОМ с полярной осью и отсчитываемым в положительном направлении.

p

O

Числа r и наз.полярными координатами т.М: r наз.полярным радиусом,

Системы координат в пространстве: декартовы

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

2)Общее ур.прямой: Ax +By+C=0 (A,B.C-постоянные коэффициенты,причём Аи В одновреммено не обращаются в 0

Ур.прямой с угловым коэффициентом имеет вид у=kx+b(k-угловой коэф.прямой,b-ордината точки пересечения прямой с осью Оу)

Нормальное ур.прямой (р-длина перпендикуляра,опущ. из начала координат на прямую, -угол,кот. этот перпендикуляр образует с полож. направлением оси Ох

3)Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший из двух смежных углов,образованными этими прямыми

Если прямые заданы урав.с угловыми коэф. У= x+ и у= x+ то угол между ними выч. По фор.

Tg =

Условие параллельности прямых имеет вид

, а условие их перпедикулярности

Если прямые заданы общими ур. x+ y+ и x+ y+ ,то величина угла между ними выч. по фор. tg
,условие их параллельности

Для нахождения общих точек прямых димо решить систему ур.

4)Расстоянием d от точки ) до прямой x+ y+ наз.длина перпендикуляра,опущенного из этой точки на прямую

Расст.d опред.по фор.d=

Расст.от точки до прямой выч. по форм.

d=

Кривые второго порядка

Линии,определяемые алгебраическими ур.второй степени относительно переменных х и у,т.е ур.вида А +2 Вху+С +2Dx+2Ey+F=0,наз.кривыми второго порядка

Окружностью наз.множество всех точек плоскости,удалённых от заданной т.А на одно и тоже расстояние R. т.А наз.центром,а R-радиусом окружности

Ур.окружности имеет вид + = (каноническое урав.окружности).Если а=0,b=0,то ур.имеет вид

Эллипсом наз.множество всех точек плоскости,сумма расст. от каждой из кот. до двух данных точек,наз.фокусами,есть величина постоянная,большая,чем расст. между фокусами

Каноническое ур.эллипса: =1,где а-большая полуось,b-малая полуось эллипса

Точки А,В,С наз. вершинами эллипса,т.О-центром эллипса,расстояние от произвольной точки М эллипса до его фокусов наз.фокальными радиусами этой точки

Эксцентриситетом эллипса наз.отношение фокусного расстояния 2с к большой оси 2а:

Фокальные радиусы опред.формулами ,

Директрисами эллипса наз. параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии,равном ,ур.директрис:x= и x=

1)Если а=b,то ур. =1 определяет окружность

2)ур.эллипса с осями,параллельными координатным,имеет вид

3)ур. t

Гиперболой наз.множество всех точек плоскости,модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек,наз.фокусами,есть величина постоянная,меньшая,чем расстояние между фокусами

Каноническое ур.гиперболы: =1,где а –действительная,b-мнимая полуось гиперболы

Точки Аи В наз.вершинами гиперболы,т.О-центром гиперболы,расстояния от произвольной т.М гиперболы до её фокусов наз.фокальными радиусами этой точки

Число ,наз.эксцентриситетом гиперболы

Прямоугольник,центр которого совпадает с т.О,а стороны равны и параллельны осям гиперболы наз.основным прямоугольником гиперболы.Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых,наз.асимптотами гиперболы,они определяются ур.у= x

Две прямые параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии,равном ,наз.директрисами гиперболы.их ур. x= и x=

Параболой наз.множество всех точек плоскости,каждая из которых равноудалена от заданной точки,наз.фокусом и заданной прямой,наз.директрисой

Каноническое ур.параболы имеет вид

=2рх,где число р>0,равное расстоянию от фокуса F до директрисы l,наз. Параметром параболы.Координаты фокуса F()Точка О(0,0)наз. Вершиной параболы,длина r отрезка FM-фокальный радиус т.М,ось Ох-ось симметрии параболы

Ур.директрисы l параболы имеет вид х=- ,фокальный радиус выч.по фор.r=x+

 

 

6)Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что a = AB and b = CD, тогда вектор a + b = AB + CD есть результат выполнения двух операций

a) параллельного переноса одного из векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б) геометрического сложения, т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.

Законы сложения.

I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон).

II. (a + b) + c = a + (b + c) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).

III. a + 0 = a.

IV. a + (– a) = 0.

7)Скалярным произведением двух ненулевых векторов наз.число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

= *

Свойства скалярного произведения:

1. – переместительное свойство;

2. – скалярный квадрат вектора;

3. – распределительное свойство;

4. – сочетательное свойство относительно числового множителя.

 

 

8) Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а_x. При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y, его проекция будет обозначаться а_y (рис. 9).

Рис. 9

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а_x = х_к − x_н.

Надо помнить: проекция вектора на ось - это число! Причем, проекция может быть положительной, если величина х_к больше величины х_н, отрицательной, если величина х_к меньше величины х_н и равной нулю, если х_к равно х_н (рис. 10).

Рис. 10

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.
Из рисунка 11 видно, что а_x = а Cos α
то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора. Если угол острый, то
Cos α > 0 и а_x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Рис. 11

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.
При решении задач часто будут использоваться следующие свойства проекций: если
а = b + c +…+ d, то а_x = b_x + c_x +…+ d_x (аналогично на другие оси), если a = m b, то а_x = mb_x (аналогично на другие оси).

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

 

10.) Линейным пространством пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами.

 

Система векторов e1,e2,..., ek линейного пространства L наз. линейно независимой системой, если равенство С1·e1+С2·e2+...+Сk· ek = 0 возможно только когда все коэффициенты С1, С2,..., Сk равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С1, С2,..., Сk — числовые коэффициенты. Если система векторов e1,e2,..., ek линейного пространства L не явл. линейно независимой системой, то она наз. линейно зависимой системой векторов. Если векторы скалярное произведение кот. равно 0,наз.ортогональными

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей П₁ и П₂, то прямые l₁ и l₂ и изображения векторов n₁ и n₂ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями П₁ и.Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как то в обоих случаях .По определению скалярного произведения . Откуда и соответственно

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула позволяет найти косинус острого угла между плоскостями. Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей где -- любое число.

 

16)Ур/ прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) и B(x₁,y₁,z₁)наз. равенство:

 

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Если прямые заданы след. урав:A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0

тогда направляющие векторы этих прямых будут равны: a₁ = (- B₁; A₁) и a₂ = (- B₂; A₂)

Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

из этой формулы получим:

Выразим угол φ:

Из последней формулы получим:

Если прямые параллельны, то k1=k2 и b1≠b2

Если прямые перпендикулярны, то k1*k2=-1

Если прямые пересекаются, то k1≠k2

Если прямые совпадают, то k1=k2 и b1=b2

 

Матрицы

Матрицей А размера m на n наз.прямоугольная таблица из m строк и n столбцов,состоящая из чисел или иных матем.выражений .Квадратной матрицей n-го порядка наз.матрица размера n на n.Диагональной наз.квадратная матрица,у котрой все элементы вне главной диагонали равны 0.Единичной наз.диагональная матрица с единицами на главной диагонали.Нулевой наз.матрица,все элементы которой равны 0.

Операции над матрицами

Суммой матриц А= и B= одинакового размера наз.матрица С= того же размера.Свойства операции сложения матриц.Для любых матриц А,B,C одного размера выполняются равенства:1)A+B=B+A 2)(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

Произведение матриц А= на число j наз.матрица B= того же размера,что и матрица А.Свойства операции умножения матрицы на число:1)j(

Свойства операции умножения1)(A B)C=A(BC)=ABC 2)(A+B)C=AC+BC 3)A(B+C)=AC+BC 4)AB

Транспонированной к матрице А= наз.матрица =() такая,что .Элемент строки матрицы назовём крайним,если он отличён от 0,а все элементы этой строки,находящиеся левее него,равны 0.Матрица наз.ступенчатой,если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки

Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).

 

Определители

Определитель 2-го порядка задаётся равенством: ).Опредилитель 2-го порядка есть сумма 2=2!слагаемых,каждое из кот. представляет собой произведение 2-х сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одно из слогаемых берется со знаком +,другое-со знаком -.

Определитель 3-го порядка задаётся равенством:

Определитель3-го порядка есть сумма 6=3! Слагаемых,каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одна половина слагаемых берётся со знаком +,другая со знаком -.

19)Алгеброическим дополнением к элементу квадратной матрицы А= наз.произведение *

Определитель n-го порядка задаётся равенством: = .Указанная сумма состоит из n!слагаемых,каждое из которых представляет собой произведение

 

Сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одна половина слагаемых берется со знаком +,другая мо знаком -.

20)Обратной матрицей к квадратной матрице А наз.такая матрица,что *А=А* =Е.Присоединенной матрицей к квадратной матрице А= ,наз матрица = ,получ.транспонированием из матрицы,составленной из алгебраических дополнений

Если квадратеая матрица А-невырожденная,то .

Алгоритм нахождения:1)Вычислим определитель матрицы А,если опр.=0,то обратная матрица не сущ.2)Если опред.не равен 0,то обратная матрица сущ.Находим алгеброическое дополнение элементов матрицы А и составляем матрицу из них = 3)Транспонируем матрицу и получ.присоединённую матрицу 4)Находим обратную матрицу по формуле = 5)Осущ.проверку А* =

21) Пусть K - поле, , , . Если , то называется собственным числом матрицы A, а - собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу .

22)Системы линейных уравнений.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь m — колич. Урав., а n — колич. неизвестных.

Система линейных урав. может быть представлена в матричной форме как:

Правило Крамера.Если определитель матрицы А отличен от 0, то система имеет единственное решение определяемое из форм.X_i= где определитель полученный из определителя матрицы А с заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

 

ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ

- предел функции в нек-рой точке справа или слева. Пусть f - отображение упорядоченного множества X(напр., множества, лежащего на числовой прямой), рассматриваемого как топологич. пространство с топологией, порожденной отношением порядка, в топологич. пространство Y и . Предел отображения f по любому интервалу наз. пределом слева отображения f и обозначают

(он не зависит от выбора ), а предел по интервалу наз. пределом справа и обозначают (он не зависит от выбора ). Если точка является предельной как слева, так и справа для множества определения функции f, то обычный предел

 

по проколотой окрестности точки х ₀ (в этом случае его наз. также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке х ₀ существуют пределы слева и справа и они равны между собой.

Обратная

Пустьf(x)-- функ, непрерывная на отрезке [a,b].Предположим, что f(x) монотонна на [a,b]; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из x₁<x₂, следует, что f (x₁)< f (x₂)

Тогда образом отрезка [a,b] будет отрезок [c,d], где c=f(a), d=f(b)(действительно, непрерывная функ. принимает любое промежуточное между f(a), f (b)значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому сущ. обратная к y =f(x) функ. функ., действующая из [c,d]в [a,b].Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция f была монотонно убывающей, то и обратная к ней функ. тоже была бы монотонно убывающей.)

Теорема. Пусть f -- непрерывная монотонная функция, .Тогда обратная к f функ. непрерывна на отрезке [c,d].

36)

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функ. достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Непрерывность функ. на отрезке

Функ. f (x) наз. непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функ. f (x) наз. непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функ., непрерывная на отрезке [ a, b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функ., непрерывных на отрезке [ a, b ] обозначается символом C [ a, b ].

Свойства функ., непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x О[ a, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. сущ. точки α, β О [ a, b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О [ a, b ] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max _{x О [ a, b ]} f (x), а наименьшее значение m — символом min _{x О [ a, b ]} f (x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функ., удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

 

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она принимает на (a, b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).

Существование непрерывной обратной функции

Пусть функ. y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a, b ]. Тогда на отрезке [ α, β ] (α = f (a), β = f (b)) существует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α, β).

Определение Производной

Производной ф-ции y=f(x) в тч. Х₀ наз. предел отношения приращения этой ф-ции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. если он сущ.

Формула выражает геометрический смысл производной: производная от данной ф. в данной точке = tg угла наклона касательной графика ф-ции в этой тчк.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функ. , где a - угол наклона касательной к графику функ. f(x) в точке (x₀, f(x₀)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

экономический смысл производной. Пусть y(x) – ф-ция, характеризующая, напр., издержки производства, где x – колич. выпускаемой продукции. Тогда отношение описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af. Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная выражает предельные издержки производства. Величину Mf(x) = y' наз. мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определ. предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и др. предельные величины.

38)Правила дифференцирования: Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функ., дифференцируемые в точке х. 1. Производная сум.(разности) двух дифференц-ых ф-ций =сумме(разности) производных этих ф-ций 2. Производная произведения двух диффиренц-ых ф-ций = произведению первой ф-ции на производную второй + произведение второй ф-ции на производную первой: 3. Производная частного двухдифференц-ых ф-ций определ. формулой: где

Производная сложной функции и обратной функций Производная сложной ф.: Если и -дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф. сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т.е. , .

Производная обратной ф.: Если y=f(x) и - взимнообратые дифференцируемые ф-ции и ,то Действительно, т.к. ,то

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную в точке х: , то

, где a®0, при Dх®0. f¢(x)Dx- линейная часть приращения и называется дифференциалом функции и обозначается dy d f (x). dy = f¢(x)dx. Можно также записать:

Теорема Ферма и Ролля.

Ферма: Пусть y=f(x) дифференцируется на некотором множестве X.

Пусть некоторая точка этого множества в некоторой точке этого множества функ. достигает своего наибольшего или наименьшего значения, тогда производная в этой точке = 0.

Ролля: Теорема Ро́лля утверждает, что если функ., имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала.

Пусть 1)y=f(x) определена и непрерывна на интервале

2)”y” дифференцируема по крайней мере на

3)в концах отрезка f принимает одинаковое значение f(a)=f(b).

Тогда сущ. по крайней мере одна внутренняя точка, где производная =0.

Теорема Лагранжа.

1.y=f(x) определена и непрерывна на .

2.y=f(x) дифференцируема по крайней мере на (a,b).

Тогда сущ. по крайней мере одна точка z где производная равна

.

43) Правило Лопиталя. Пусть функ. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если сущ. предел отношения производных этих функ. , то сущ. и предел отношения самих функ. f(x)/g(x) при x → а, причем

Коротко правило Лопиталя можно сф ормулировать след. образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Теорема Лагранжа

 

Если функ. f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то сущ.такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство
f(b)−f(a)=f'(c)·(b−a).
Доказательство.Составим урав.хорды,проходящей через точки(a,f(a)),(b,f(b))
y=f(a)+Q·(x-a),где есть угловой коэффициент хорды.Рассмотрим разность ординат функ.и хорды
F(x)=f(x)−f(a)−Q·(x−a).
Очевидно, что функ. F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То естьF'(c)=f'(c)−Q=0.Откуда следует
.
И,наконец,f(b)−f(a)=f'(c)·(b−a).

Условия постоянства функции

Условия монотонность функции: