Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Системы координат в пространстве: декартовы↑ Стр 1 из 6Следующая ⇒ Содержание книги Поиск на нашем сайте
Полярная система Полярная система координат задаётся т.О,наз.полюсом,лучом Ор,наз.полярной осью,и единичным вектором того же направления,что и луч Ор.
Системы координат в пространстве: декартовы Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной. 2)Общее ур.прямой: Ax +By+C=0 (A,B.C-постоянные коэффициенты,причём Аи В одновреммено не обращаются в 0 Ур.прямой с угловым коэффициентом имеет вид у=kx+b(k-угловой коэф.прямой,b-ордината точки пересечения прямой с осью Оу) Нормальное ур.прямой (р-длина перпендикуляра,опущ. из начала координат на прямую, -угол,кот. этот перпендикуляр образует с полож. направлением оси Ох 3)Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший из двух смежных углов,образованными этими прямыми Если прямые заданы урав.с угловыми коэф. У= x+ и у= x+ то угол между ними выч. По фор. Tg = Условие параллельности прямых имеет вид , а условие их перпедикулярности Если прямые заданы общими ур. x+ y+ и x+ y+ ,то величина угла между ними выч. по фор. tg Для нахождения общих точек прямых димо решить систему ур. 4)Расстоянием d от точки ) до прямой x+ y+ наз.длина перпендикуляра,опущенного из этой точки на прямую Расст.d опред.по фор.d= Расст.от точки до прямой выч. по форм. d= Кривые второго порядка Линии,определяемые алгебраическими ур.второй степени относительно переменных х и у,т.е ур.вида А +2 Вху+С +2Dx+2Ey+F=0,наз.кривыми второго порядка Окружностью наз.множество всех точек плоскости,удалённых от заданной т.А на одно и тоже расстояние R. т.А наз.центром,а R-радиусом окружности Ур.окружности имеет вид + = (каноническое урав.окружности).Если а=0,b=0,то ур.имеет вид Эллипсом наз.множество всех точек плоскости,сумма расст. от каждой из кот. до двух данных точек,наз.фокусами,есть величина постоянная,большая,чем расст. между фокусами Каноническое ур.эллипса: =1,где а-большая полуось,b-малая полуось эллипса Точки А,В,С наз. вершинами эллипса,т.О-центром эллипса,расстояние от произвольной точки М эллипса до его фокусов наз.фокальными радиусами этой точки Эксцентриситетом эллипса наз.отношение фокусного расстояния 2с к большой оси 2а: Фокальные радиусы опред.формулами , Директрисами эллипса наз. параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии,равном ,ур.директрис:x= и x= 1)Если а=b,то ур. =1 определяет окружность 2)ур.эллипса с осями,параллельными координатным,имеет вид 3)ур. t Гиперболой наз.множество всех точек плоскости,модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек,наз.фокусами,есть величина постоянная,меньшая,чем расстояние между фокусами Каноническое ур.гиперболы: =1,где а –действительная,b-мнимая полуось гиперболы Точки Аи В наз.вершинами гиперболы,т.О-центром гиперболы,расстояния от произвольной т.М гиперболы до её фокусов наз.фокальными радиусами этой точки Число ,наз.эксцентриситетом гиперболы Прямоугольник,центр которого совпадает с т.О,а стороны равны и параллельны осям гиперболы наз.основным прямоугольником гиперболы.Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых,наз.асимптотами гиперболы,они определяются ур.у= x Две прямые параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии,равном ,наз.директрисами гиперболы.их ур. x= и x= Параболой наз.множество всех точек плоскости,каждая из которых равноудалена от заданной точки,наз.фокусом и заданной прямой,наз.директрисой Каноническое ур.параболы имеет вид =2рх,где число р>0,равное расстоянию от фокуса F до директрисы l,наз. Параметром параболы.Координаты фокуса F()Точка О(0,0)наз. Вершиной параболы,длина r отрезка FM-фокальный радиус т.М,ось Ох-ось симметрии параболы Ур.директрисы l параболы имеет вид х=- ,фокальный радиус выч.по фор.r=x+
6)Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что a = AB and b = CD, тогда вектор a + b = AB + CD есть результат выполнения двух операций a) параллельного переноса одного из векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора; б) геометрического сложения, т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора. Законы сложения. I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон). II. (a + b) + c = a + (b + c) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон). III. a + 0 = a. IV. a + (– a) = 0. 7)Скалярным произведением двух ненулевых векторов наз.число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. = * Свойства скалярного произведения: 1. – переместительное свойство; 2. – скалярный квадрат вектора; 3. – распределительное свойство; 4. – сочетательное свойство относительно числового множителя.
8) Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается аx. При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y, его проекция будет обозначаться аy (рис. 9). Рис. 9 Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть аx = хк − xн. Надо помнить: проекция вектора на ось - это число! Причем, проекция может быть положительной, если величина хк больше величины хн, отрицательной, если величина хк меньше величины хн и равной нулю, если хк равно хн (рис. 10). Рис. 10 Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью. Рис. 11 Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против. Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.
10.) Линейным пространством пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции 1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и 2. умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый . При этом на операции накладываются следующие условия: 1. , для любых (коммутативность сложения); 2. , для любых (ассоциативность сложения); 3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто; 4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения). 5. (ассоциативность умножения на скаляр); 6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор). 7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров); 8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов). Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами.
Система векторов e1,e2,..., ek линейного пространства L наз. линейно независимой системой, если равенство С1·e1+С2·e2+...+Сk· ek = 0 возможно только когда все коэффициенты С1, С2,..., Сk равны нулю. Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С1, С2,..., Сk — числовые коэффициенты. Если система векторов e1,e2,..., ek линейного пространства L не явл. линейно независимой системой, то она наз. линейно зависимой системой векторов. Если векторы скалярное произведение кот. равно 0,наз.ортогональными Рис.11.6.Угол между плоскостями Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей П1 и П2, то прямые l1 и l2 и изображения векторов n1 и n2 будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8). Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями П1 и.Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как то в обоих случаях .По определению скалярного произведения . Откуда и соответственно Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула позволяет найти косинус острого угла между плоскостями. Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей: Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей где -- любое число.
16)Ур/ прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1)наз. равенство:
Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Если прямые заданы след. урав:A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 тогда направляющие векторы этих прямых будут равны: a1 = (- B1; A1) и a2 = (- B2; A2) Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов: из этой формулы получим: Выразим угол φ: Из последней формулы получим: Если прямые параллельны, то k1=k2 и b1≠b2 Если прямые перпендикулярны, то k1*k2=-1 Если прямые пересекаются, то k1≠k2 Если прямые совпадают, то k1=k2 и b1=b2
Матрицы Матрицей А размера m на n наз.прямоугольная таблица из m строк и n столбцов,состоящая из чисел или иных матем.выражений .Квадратной матрицей n-го порядка наз.матрица размера n на n.Диагональной наз.квадратная матрица,у котрой все элементы вне главной диагонали равны 0.Единичной наз.диагональная матрица с единицами на главной диагонали.Нулевой наз.матрица,все элементы которой равны 0. Операции над матрицами Суммой матриц А= и B= одинакового размера наз.матрица С= того же размера.Свойства операции сложения матриц.Для любых матриц А,B,C одного размера выполняются равенства:1)A+B=B+A 2)(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C Произведение матриц А= на число j наз.матрица B= того же размера,что и матрица А.Свойства операции умножения матрицы на число:1)j( Свойства операции умножения1)(A B)C=A(BC)=ABC 2)(A+B)C=AC+BC 3)A(B+C)=AC+BC 4)AB Транспонированной к матрице А= наз.матрица =() такая,что .Элемент строки матрицы назовём крайним,если он отличён от 0,а все элементы этой строки,находящиеся левее него,равны 0.Матрица наз.ступенчатой,если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).
Определители Определитель 2-го порядка задаётся равенством: ).Опредилитель 2-го порядка есть сумма 2=2!слагаемых,каждое из кот. представляет собой произведение 2-х сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одно из слогаемых берется со знаком +,другое-со знаком -. Определитель 3-го порядка задаётся равенством: Определитель3-го порядка есть сумма 6=3! Слагаемых,каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одна половина слагаемых берётся со знаком +,другая со знаком -. 19)Алгеброическим дополнением к элементу квадратной матрицы А= наз.произведение * Определитель n-го порядка задаётся равенством: = .Указанная сумма состоит из n!слагаемых,каждое из которых представляет собой произведение
Сомножителей-элементов матрицы А,по одному из каждой строки и каждого столбца.Одна половина слагаемых берется со знаком +,другая мо знаком -. 20)Обратной матрицей к квадратной матрице А наз.такая матрица,что *А=А* =Е.Присоединенной матрицей к квадратной матрице А= ,наз матрица = ,получ.транспонированием из матрицы,составленной из алгебраических дополнений Если квадратеая матрица А-невырожденная,то . Алгоритм нахождения:1)Вычислим определитель матрицы А,если опр.=0,то обратная матрица не сущ.2)Если опред.не равен 0,то обратная матрица сущ.Находим алгеброическое дополнение элементов матрицы А и составляем матрицу из них = 3)Транспонируем матрицу и получ.присоединённую матрицу 4)Находим обратную матрицу по формуле = 5)Осущ.проверку А* = 21) Пусть K - поле, , , . Если , то называется собственным числом матрицы A, а - собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу . 22)Системы линейных уравнений. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида Здесь m — колич. Урав., а n — колич. неизвестных. Система линейных урав. может быть представлена в матричной форме как: Правило Крамера.Если определитель матрицы А отличен от 0, то система имеет единственное решение определяемое из форм.Xi= где определитель полученный из определителя матрицы А с заменой i-того столбца столбцом свободных членов.
ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ - предел функции в нек-рой точке справа или слева. Пусть f - отображение упорядоченного множества X(напр., множества, лежащего на числовой прямой), рассматриваемого как топологич. пространство с топологией, порожденной отношением порядка, в топологич. пространство Y и . Предел отображения f по любому интервалу наз. пределом слева отображения f и обозначают (он не зависит от выбора ), а предел по интервалу наз. пределом справа и обозначают (он не зависит от выбора ). Если точка является предельной как слева, так и справа для множества определения функции f, то обычный предел
по проколотой окрестности точки х 0 (в этом случае его наз. также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке х 0 существуют пределы слева и справа и они равны между собой. Обратная Пустьf(x)-- функ, непрерывная на отрезке [a,b].Предположим, что f(x) монотонна на [a,b]; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из x1<x2, следует, что f (x1)< f (x2) Тогда образом отрезка [a,b] будет отрезок [c,d], где c=f(a), d=f(b)(действительно, непрерывная функ. принимает любое промежуточное между f(a), f (b)значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому сущ. обратная к y =f(x) функ. функ., действующая из [c,d]в [a,b].Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция f была монотонно убывающей, то и обратная к ней функ. тоже была бы монотонно убывающей.) Теорема. Пусть f -- непрерывная монотонная функция, .Тогда обратная к f функ. непрерывна на отрезке [c,d]. 36) Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функ. достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Непрерывность функ. на отрезке Функ. f (x) наз. непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функ. f (x) наз. непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Замечание. Функ., непрерывная на отрезке [ a, b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1) Множество функ., непрерывных на отрезке [ a, b ] обозначается символом C [ a, b ]. Свойства функ., непрерывных на отрезке Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x О[ a, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C. Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. сущ. точки α, β О [ a, b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О [ a, b ] (рис.2). Наибольшее значение M обозначается символом max x О [ a, b ] f (x), а наименьшее значение m — символом min x О [ a, b ] f (x). Теорема 3 (о существовании нуля). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функ., удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).
Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она принимает на (a, b) все промежуточные значения между f (a) и f (b). Существование непрерывной обратной функции Пусть функ. y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a, b ]. Тогда на отрезке [ α, β ] (α = f (a), β = f (b)) существует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α, β). Определение Производной Производной ф-ции y=f(x) в тч. Х0 наз. предел отношения приращения этой ф-ции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. если он сущ. Формула выражает геометрический смысл производной: производная от данной ф. в данной точке = tg угла наклона касательной графика ф-ции в этой тчк. Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функ. , где a - угол наклона касательной к графику функ. f(x) в точке (x0, f(x0)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке. Уравнение касательной к кривой: Уравнение нормали к кривой: . экономический смысл производной. Пусть y(x) – ф-ция, характеризующая, напр., издержки производства, где x – колич. выпускаемой продукции. Тогда отношение описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af. Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная выражает предельные издержки производства. Величину Mf(x) = y' наз. мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определ. предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и др. предельные величины. 38)Правила дифференцирования: Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функ., дифференцируемые в точке х. 1. Производная сум.(разности) двух дифференц-ых ф-ций =сумме(разности) производных этих ф-ций 2. Производная произведения двух диффиренц-ых ф-ций = произведению первой ф-ции на производную второй + произведение второй ф-ции на производную первой: 3. Производная частного двухдифференц-ых ф-ций определ. формулой: где Производная сложной функции и обратной функций Производная сложной ф.: Если и -дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф. сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т.е. , . Производная обратной ф.: Если y=f(x) и - взимнообратые дифференцируемые ф-ции и ,то Действительно, т.к. ,то Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную в точке х: , то , где a®0, при Dх®0. f¢(x)Dx- линейная часть приращения и называется дифференциалом функции и обозначается dy d f (x). dy = f¢(x)dx. Можно также записать: Теорема Ферма и Ролля. Ферма: Пусть y=f(x) дифференцируется на некотором множестве X. Пусть некоторая точка этого множества в некоторой точке этого множества функ. достигает своего наибольшего или наименьшего значения, тогда производная в этой точке = 0. Ролля: Теорема Ро́лля утверждает, что если функ., имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала. Пусть 1)y=f(x) определена и непрерывна на интервале 2)”y” дифференцируема по крайней мере на 3)в концах отрезка f принимает одинаковое значение f(a)=f(b). Тогда сущ. по крайней мере одна внутренняя точка, где производная =0. Теорема Лагранжа. 1.y=f(x) определена и непрерывна на . 2.y=f(x) дифференцируема по крайней мере на (a,b). Тогда сущ. по крайней мере одна точка z где производная равна . 43) Правило Лопиталя. Пусть функ. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если сущ. предел отношения производных этих функ. , то сущ. и предел отношения самих функ. f(x)/g(x) при x → а, причем Коротко правило Лопиталя можно сф ормулировать след. образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Теорема Лагранжа
Если функ. f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то сущ.такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство Условия постоянства функции Условия монотонность функции: Монотонно возврастающая функ. если: f()<f(;x1
|
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 382; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.158.84 (0.01 с.) |