Достаточное условие экстремума

Первое достаточное условие экстремума

Пусть х₀ – точка максимума, т.е. f’(x₀)=0

Если f’ при переходе точки х₀ меняет знак от + к -, то это точка максимума, если от – к +, то это точка минимума

Если f’ не меняет знак при переходе через х₀, то это точка перегиба

Второе достаточное условие экстремума

Пусть y=f(x)

X₀, f’(x₀)=0 (т.е. выполняется необходимое условие экстремума)

Если f’’(x₀)>0,x₀ – точка min

f’’(x₀)<0,x₀ – точка max

46.)Условие выпуклости и вогнутости функции. Точка перегиба.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – наз. вогнутой. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Если график функ.находится выше касательной, то график такой ф-ции наз. вогнутым, если график ф-ции ниже касательной - то выпуклой.

Если f’’(x)>0, x? (a,b), то ф-ции вогнутая

Если f’’(x)<0, x? (a,b), то ф-ции выпуклая

Если f’’(x)=0, x? (a,b), то х – точка перегиба, т.е. при переходе через х ф-ция меняет выпуклость

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, наз. точкой перегиба.

В точке перегиба касательная пересекает кривую.

Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не сущ. и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а явл. точкой перегиба.

Асимптоты.

Прямая наз. асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.Асимптоты могут быть прямые и наклонные.

Кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты. . прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

.

Построение графиков ф-ции

1. Находим область допустимых значений 2. Находим стационарные точки (f’=0) 3. Находим область монотонность (возрастания и убывания) 4. Находим точки максимума и минимума

Функ. нескольких переменных

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных. z = f(x, y)

Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной

Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует

Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Число А наз. пределом функ. f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие .

Записывают:

Однородная функция. Функция одного или нескольких переменных f (x ₁, x ₂, …, x_n) называется однородной степени k, если существует такое (постоянное) число k, что при любых значениях λ выполняется тождество
f (λ x ₁, λ x ₂, …, λ x_n) = λ ^k ∙ f (x ₁, x ₂, …, x_n).
Указанное число k называется степенью (показателем) однородности функции

50.)Частной производной функ. нескольких переменных по одной из этих переменных наз. предел отношения соответствующего частного приращения функ. к приращению данной переменной,когда последнее стремится к нулю.Для функ. двух переменных z= f(x,y),полагая,например, y (игрик) постоянной, получаем производную =f _x (x,y), кот. наз. частной производной функ. z по переменной х.Аналогично определяется производная функ. z по переменной х:

= f _у (x,y)

Полным приращением функции z=f(x,y) наз. разность:

Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции кот. на координатные оси равны значениям функ. u в соответствующей точке , то этот вектор наз. градиентом функ. u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Производная по направлению..

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М(x, y, z) и точке М₁(x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов наз. направляющими косинусами вектора . Расстояние между точками М и М₁ на векторе обозначим DS.

Далее предположим, что функ. u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

, где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при . Из геометрических соображений очевидно:

Приведенные выше равенства могут быть представлены след. образом:

;

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора . Из этого уравнения следует следующее определение:

Предел наз. производной функ. u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами (x, y, z).

 

51)Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1.Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум.

2.Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать ноль