Первоообразная функции и неопределённый интеграл

Пусть функ. f(х) определена не некотором интервале (а,b).Тогда функция F(x) наз.первообразной для функции f(х) на интервале (а,b),если F’(x) для всех х (а,b)

Совок. всех первообразных для функ. f(x) наз.неопределённым интегралом от функ. f(x).Знак наз.интегралом,функция f(x)-подынтегральной функціей,а f(x)dx-подынтегральным выражением.Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функ. наз.интегрированием этой функции.

Свойства неопределённого интеграла

1) =F(x)+C 2)d =f(x)dx 3) 4) 5)Если F(ax+b)+с

Метод замены переменной

Если нахождение интеграла затруднительно,то пользуются методом подстановки или методом замены переменной.При применении этого метода используют подстановки двух видов:1) x= (t),где х= (t)-монотонная непрерывно дифференцируемая фун.новой переменной t.В этом случае 2)u= ,где u-новая переменная.Формула замены переменной при такой подстановке: (.

Интегрирование по частям

Пусть функ. u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на множестве X и на этом множестве сущ.интеграл .Тогда на этом множестве сущ. интеграл и справедлива формула интегрирования по частям

Для интегралов вида dx, , ,где Q(x)-многочлен,в качестве u следует брать Q(x),а в качестве dv –выражение dx .

В случае интегралов вида

в качестве u берут функ.lnx,arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx,а в качестве dv-выражение Q(x)dx

Интегрирование простейших рац. дробей

Целой рац. Функ. аргумента х наз. многочлен, в кот. переменная х только в целых степенях (в том числе х =1).a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +... + a₂x² + a₁x + a_0. Дробной рац. Функ. аргумента х наз. отношение целых рац.функ.. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь наз. правильной. В противном случае - неправильной.

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная - выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;2. Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;3. Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;4 В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших

Интегрирование рациональных дробей

Функ. вида R(x)= ,где -многочлены соответственно степени m и n,наз.рациональной функ.Интегрирование рац.функ. с помощью метода разложения на простейшие дроби сводится к интегрированию многочленов и простейших рациональных функ.след.4-х видов:1) ; 2)

Алгоритм интегрирования рац.функций

1)Если рац.дробь неправильная,то путём деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов следует выделить целую часть и представить дробь в виде

2)Разложить знаменатель на множитель вида

3)Разложить правильную дробь на сумму простейших дробей: = +…. +

4)Найти неизвестные коэффициенты в разложении(предыдущий)

5)Почленно проинтегрировать каждую простейшую дробь

Интегрирование иррациональных функций

1)Интеграл вида подстановкой приводится к интегралу от рациональной функции t 2) Интеграл вида рационализируется с помощью подстановки

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида -рациональная функ.от cosx, приводятся к интегралам от рац.функций с помощью универсальной тригон.подстановки tg

1)Если R(sinx,cosx)-нечётная функ.относительно sinx,т.е.если R(-sinx,cosx)=- R(sinx,cosx),то интеграл рационализируется подстановкой cosx=t 2) Если R(sinx,cosx)-нечётная функ.относительно cosx,т.е.если R(sinx,-cosx)=- R(sinx,cosx),то интеграл рационализируется подстановкой sinx=t 3) Если R(sinx,cosx)-чётная функ.относительно sinx и cosx,т.е.если R(-sinx,-cosx)= R(sinx,cosx),то применяется подстановка tgx=t

При вычислении интегралов используются формулы 1) 2)

Определенный интеграл.

Если сущ.конечный предел интегральной суммы при n→∞, Δх →0 независимо от способа разбиения, независимо от выбора точек , то этот предел наз. определённым интегралом данной функ.,а функ. - интегрируемой