определение однородного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка

Наз. однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению

для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y:

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

 

или через дифференциалы:

 

где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функ. одинакового порядка.

65)Линейные ДУ I порядка. называется уравнение вида у΄+р(х)у=f(x),где р(х) и (х)-заданные непрерывные функции.Решение линейного уравнеия сводиться к решению дифференциальных уравнений с разделяющимеся переменными относительно каждой из вспомогательной функции.

 

66)Неоднородными дифференциальным урав. второго порядка с постоянными коэффициентами наз. уравнение вида , где p и q- постоянные, – функ., непрерывная на некотором множестве Х.

Теорема Пусть y*= -некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения, а

₀ = C₁ y ₁ (x) ₊ C ₂ y ₂ (x)- общее решение соответствующего однородного уравнения. Тогда у_общ =у₀ +у* -общее решение неоднородного урав..

Для нахождения частного решения у* можно использовать специальный вид правой части урав.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения, используя «метод неопределённых коэффициентов» по след. правилам:

1)Если F(x)=P(x), где P(x)-многочлен степени n, то соответствующее частное решение ищется:

а)в виде у*= Q(x),где Q(x) -многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, если ноль не явл. корнем характеристического урав.;

б) в виде у*=х^а Q(x),где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, если нуль явл. корнем характеристического урав. кратности .

2)Если f(x)=P(x)e^mx,то соответствующее частное решение находится:

а)в виде y*=Q(x)e^mx,где, где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, если м не явл. корнем характеристического урав..

б) в виде у*=х^а Q(x) e^mx,где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, если м явл. корнем характеристического урав. кратности .

3)Если f(x)=e^ax (M , где М и N –const, то у* находится:

а) в виде у*= e^ax (А ,где А,В-постоянные,если числа

Не явл.корнями характеристического уравн.

б) в виде у*= e^ax (А ,где А,В-постоянные,если числа

Явл.корнями характеристического урав.

67)Числовым рядом наз.выражение, полученное последовательным сложением членов числовой последовательности т.е. й частичной суммой ряда наз.

Ряд наз.сходящимся, если сущ. конечный предел явл. суммой ряда; расходящимся, если Числа — члены ряда, — й или общий член.

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда.Изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство .

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство

5. Если ряд сходится, то . Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда.

Если ряд сходится, то (при )..

 

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Пусть дан ряд все слагаемые кот. положительны .

Признак Коши. Пусть сущ. . Тогда если с<1, то ряд сходится; Если , то ряд расходится;

Если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Признак Даламбера. Пусть сущ. . Тогда если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится;

Если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя

69) Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, наз.знакопеременным.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд наз. абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он явл. сходящимся. Обратное утверждение неверно. Ряд наз. условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

70) Частным случаем знакопеременного ряда явл. знакочередующийся ряд, т.е. такой ряд, в кот. последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} явл. числовой последовательностью, такой, что

1. 1.a_n+1 < a_n для всех n;

2. 2. .

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

 

71)Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в кот. коэффициенты берутся из некоторого .

Теорема Абеля:

Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится при всех x так, что .

Пусть ряд расходится в точке , тогда он расходится при всех х так, что

Радиус сходимости:

Если , то ряд расходится, поскольку общий член ряда не стремится к 0. И наоборот.

 

72)

73)Применение рядов к приближённым вычислениям

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах. Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением Тогда = 0,0238+0,0046–0,0008≈0,7475≈0,748. Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.