Бесконечно малые величины и их св-ва

Функ. f(x) наз. бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .Бесконечно малой функ. может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Пример. Функ. f(x) = xⁿ явл. бесконечно малой при х®0 и не явл. бесконечно малой при х®1, т.к. . Теорема. Для того, чтобы функ. f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + a(x),где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНК. – функ. переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функ.f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функ. при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются

 

означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функ., т. к. если f(x) есть Б. б. ф., то функция ψ (х) = 1/f(x) явл. бесконечно малой.

Непрерывность функции в точке.

Определение 1: Функ. f(x) наз. непрерывной функ. в точке A, если сущ. предел данной функ. при аргументе стремящимся к A и он равен f(a), т.е.

Критерий непрерывности:

Для любого сколь угодно малого числа эпсилон, сущ. такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функ. в данных точках будет сколь угодно мало.

Критерий непрерывности функции в точке:

Функ. будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A сущест. два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функ. в точке A.

Определение 2: Функ.непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Непрерывность сложной функции и обратной функции.

Пусть функ. j(t) непрерывна в точке t0 и функ. f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функ. f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d, и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения

Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

Обратная

Пустьf(x)-- функ, непрерывная на отрезке [a,b].Предположим, что f(x) монотонна на [a,b]; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из x₁<x₂, следует, что f (x₁)< f (x₂)

Тогда образом отрезка [a,b] будет отрезок [c,d], где c=f(a), d=f(b)(действительно, непрерывная функ. принимает любое промежуточное между f(a), f (b)значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому сущ. обратная к y =f(x) функ. функ., действующая из [c,d]в [a,b].Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция f была монотонно убывающей, то и обратная к ней функ. тоже была бы монотонно убывающей.)

Теорема. Пусть f -- непрерывная монотонная функция, .Тогда обратная к f функ. непрерывна на отрезке [c,d].

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функ. явл. непрерывными в любой точке свой области определения.

Функ.наз. элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций

(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функ. Множество основных элементарных функ. вкл. в себя:

1.Алгебраические многочлены

2.Рациональные дроби

3.Степенные функ. x^p

4.Показательные функ. a^x

5.Логарифмические функ.

6.Тригонометрические функ.

7.Обратные тригонометрические функции

 

36)

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функ. достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Непрерывность функ. на отрезке

Функ. f (x) наз. непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функ. f (x) наз. непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функ., непрерывная на отрезке [ a, b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функ., непрерывных на отрезке [ a, b ] обозначается символом C [ a, b ].

Свойства функ., непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x О[ a, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. сущ. точки α, β О [ a, b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О [ a, b ] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max _{x О [ a, b ]} f (x), а наименьшее значение m — символом min _{x О [ a, b ]} f (x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функ. f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функ., удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

 

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она принимает на (a, b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).

Существование непрерывной обратной функции

Пусть функ. y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a, b ]. Тогда на отрезке [ α, β ] (α = f (a), β = f (b)) существует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α, β).