Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие скалярного произведенияСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Сначала про угол между векторами. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом. Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и если Решение: Используем формулу . В данном случае: Ответ: .Чисто с математической точки зрения скалярное Угол между векторами и значение скалярного произведения. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи: 1) Если угол между векторами острый: (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным: . Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: . 2) Если угол между векторами тупой: (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: . Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым: (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как Справедливы и обратные утверждения: 1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены. 2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно. Но особый интерес представляет третий случай: 3) Если угол между векторами прямой: (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю: . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая запись: Скалярный квадрат вектора Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены. В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: . А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой: свойства скалярного произведения:Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства: 1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения. 2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки. 3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения. Пример 3. Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что . Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Сумма векторов и представляет собой определенный вектор, который и обозначен через . Так же с вектором – это сумма векторов и .по условию требуется найти скалярное произведение . (1) Поставляем выражения векторов (2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во 2ом слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .(4) Приводим подобные слагаемые: .(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата ,В последнем слагаемом: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .(6) Подставляем данные условия ,проводим окончательные вычисления. Ответ: Отрицательное значение - угол между векторами является тупым.
Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой: Пример 5 Найти длину вектора , если . Решение будет следующим: (1) Поставляем выражение вектора . (2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение . (3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых. (4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач. Ответ: Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы». Пример 6 Найти длину вектора , если . Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Угол между векторами Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части: А части поменяем местами: В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол. Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: . Пример 7 Найти угол между векторами и , если известно, что . Решение: Используем формулу: Итак, если , то: Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице. Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим. Ответ: Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах). Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием: Пример 7* Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , . Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое. 1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу . 2) Находим скалярное произведение (см. Примеры №№3,4). 3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры №№5,6). 4) Концовка решения совпадает с Примером №7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол: Краткое решение и ответ в конце урока. Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.
Скалярное произведение векторов, На уроке Векторы для чайников мы рассматривали два случая: векторы на плоскости и векторы в трехмерном пространстве, при этом «плоские» и «пространственные» формулы были весьма похожи. Для скалярного произведения векторов всё точно так же! Прежде чем продолжать дальше, скажу, что все рассмотренные выше утверждения, теоремы и задачи (первого раздела данной статьи) справедливы как для плоскости, так и для пространства. Второе важное замечание касается базиса. В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства. Повествование опять пойдёт параллельно – и для векторов плоскости и для пространственных векторов.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 845; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.67.246 (0.006 с.) |