Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

Вспомним школу. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае:

С другой стороны, у нас уже получена формула косинуса угла между векторами:

Таким образом:

Сокращаем знаменатели обеих частей на и получаем формулу для вычисления проекции:

Формула выведена, распишем её в координатах:

Если векторы плоскости и , заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:
.

Если векторы пространства , заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:

Пример 18

Найти проекцию вектора на вектор

Решение в одну строчку:

Ответ:

Проекция – это ДЛИНА, поэтому обязательно указываем размерность. Длина, конечно, своеобразная, в случае тупизны угла между векторами к ней добавляется знак «минус».

В задачах приходится находить не только проекцию вектора на вектор, но и проекцию отрезка на отрезок, отрезка на прямую и т.д. Но, так или иначе, в решении используются векторы!

Пример 19

Треугольник задан своими вершинами . Найти:
а) проекцию стороны на сторону ;
б) проекцию стороны на сторону .

Это задача для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

Выясним геометрический смысл координат векторов в ортонормированном базисе:

Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим вектор плоскости , заданный своими координатами в ортонормированном базисе . Для удобства я отложу его от начала координат:

Проекцией вектора на координатную ось является в точности его первая координата: (красная черта). Обозначим через угол между вектором и координатным вектором : (красная дуга). Тогда:
(определение косинуса в прямоугольном треугольнике недавно упоминалось).

Аналогично со второй координатой: проекцией вектора на координатную ось является его вторая координата: (малиновая черта). Обозначим через угол между вектором и координатным вектором : (двойная малиновая дуга). Тогда:

Косинусы называются направляющими косинусами вектора. Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство . Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора:
, что и требовалось проверить.

Заметьте, что приведённые выше выкладки не изменятся, если вектор отложить от любой другой точки плоскости.

Итак, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси).

Направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе , выражаются формулами , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы: , то есть: .

Кроме того, вектор с координатами из соответствующих направляющих косинусов:

– коллинеарен исходному вектору «вэ»;

– его длина равна единице (так называемый единичный вектор).

С пространственными векторами, заданными в ортонормированном базисе , разборки точно такие же. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор . Его координаты представляют собой проекции вектора на оси соответственно. Обозначим углы данного вектора с ортами через: . Тогда направляющие косинусы вектора выражаются формулами: , и справедливым является равенство .

В практических задачах чаще всего требуется найти направляющие косинусы вектора, заключительный пример урока:

Пример 20

Найти направляющие косинусы векторов:
а) , проверить, что ;
б) , проверить, что .

Простая задача для самостоятельного решения. Фактически, она состоит в том, чтобы найти длину векторов и составить эти самые направляющие косинусы. Однако не забывайте, что вместе с направляющими косинусами нам автоматически становятся известными единичные векторы, которые коллинеарны векторам «а» и «бэ». К слову, практическая задача на нахождения единичного вектора рассмотрена в Примере №5 урока Уравнение плоскости. Ну а здесь решение и ответ совсем близко.

После изучения данного урока, у вас уже весьма приличная подготовка по аналитической геометрии. Чтобы паззл сложился окончательно, читайте статьи Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Ответ:

Пример 4: Решение:

Ответ:

Пример 6: Решение:

Ответ:

Пример 7*: Решение: Используем формулу .
Найдём скалярное произведение:

Найдём длину вектора :

Найдём длину вектора :

Таким образом:

Ответ:

Пример 10: Решение:
а) Найдем векторы:

Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямые не перпендикулярны.
б) Найдем векторы:

Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямые перпендикулярны.
Ответ: а) прямые не перпендикулярны, б)

Пример 12: Решение: Составим и решим уравнение:

Ответ: при

Пример 14: Решение:

Ответ:

Пример 17: Решение: Найдем векторы

Вычислим косинус угла:

Угол:
Ответ:

Пример 19: Решение: Найдём векторы:


Ответ:

Пример 20: Решение:
а) Найдём длину вектора: .
Направляющие косинусы: .
Проверка: , что и требовалось проверить.
б) Найдём длину вектора: .
Направляющие косинусы: .
Проверка: , что и требовалось проверить.

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Базис векторов. Аффинная система координат

 

В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй. В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Сделай паузу, скушай «Твикс»! …блин, ну и чушь спорол. Хотя ладно, забивать не буду, в конце концов, на учёбу должен быть позитивный настрой.

Линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис векторов и др. термины имеют не только геометрическую интерпретацию, но, прежде всего, абстрактный алгебраический смысл. Само понятие «вектор» с точки зрения линейной алгебры – это далеко не всегда тот «обычный» вектор, который мы можем изобразить на плоскости или в пространстве. За доказательством далеко ходить не нужно, попробуйте нарисовать вектор пятимерного пространства . Или вектор погоды, за которым я только что сходил на Гисметео: – температура и атмосферное давление соответственно. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Дыхание осени….

Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы. Новые термины (линейная зависимость, независимость, линейная комбинация, базис и т.д.) носят общий алгебраический смысл, но примеры будут даны геометрические. Таким образом, всё просто, доступно и наглядно. Помимо задач аналитической геометрии мы рассмотрим и некоторые типовые задания линейной алгебры. Для освоения материала желательно прочитать статьи Векторы для чайников и Как вычислить определитель?

 

Линейная зависимость и независимость векторов плоскости.
Базис плоскости и аффинная система координат

Рассмотрим плоскость вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что нравится). Задача будет состоять в следующих действиях:

1) Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – лишка.

2) На основе выбранного базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам.

Не удивляйтесь, сначала объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор . Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор . Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах ? Данные векторы коллинеарны, а значит, линейно выражаются друг через друга:
, ну, или наоборот: , где – некоторое число, отличное от нуля.

Картинку сего действа можно посмотреть на уроке Векторы для чайников, где я объяснял правило умножения вектора на число.

Будут ли ваши пальчики задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.

Такие векторы называют линейно зависимыми.

Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-ой степени) выражения и зависимости.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой угол, кроме 0 или 180 градусов. Два вектора плоскости линейно не зависимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Итак, базис получен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы

Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :
, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов.

Например, можно сказать, что вектор разложен по ортонормированному базису плоскости , а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов .

Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. Базисы – это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки.

С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить координаты тем маленьким грязным точкам стола, которые остались после бурных выходных? Необходим отправной ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Разбираемся с системой координат:

Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом . Вот стандартная картина:

Когда говорят о прямоугольной системе координат, то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и размерность по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости.

С другой стороны, создается впечатление, что прямоугольную систему координат вполне можно определить через ортонормированный базис . И это почти так. Формулировка звучит следующим образом:

Точка плоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат плоскости. То есть, прямоугольная система координат однозначно определяется единственной точкой и двумя единичными ортогональными векторами . Именно поэтому, вы видите чертёж, который я привёл выше – в геометрических задачах часто (но далеко не всегда) рисуют и векторы, и координатные оси.

Думаю, всем понятно, что с помощью точки (начала координат) и ортонормированного базиса ЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать».

Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Нет, они могут иметь произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точку и два ортогональных вектора произвольной ненулевой длины:

Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например, или . Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы. Если длины равняются единице, то получается привычный ортонормированный базис.

! Примечание: в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ. Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры».

И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов.

Точка плоскости, которая называется началом координат, и неколлинеарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат плоскости:

Иногда такую систему координат называют косоугольной системой. В качестве примеров на чертеже изображены точки и векторы:

Как понимаете, аффинная система координат ещё менее удобна, в ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали во второй части урока Векторы для чайников, многие вкусные формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении, а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим.

А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система. Поэтому её, родную, чаще всего и приходится лицезреть.

Переходим к практической части. Все задачи данного урока справедливы как для прямоугольной системы координат, так и для общего аффинного случая. Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику.