Линии напряженности. Поток вектора

НА­ПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

Для того, чтобы описать электрическое поле, нужно задать Е в каждой точке поля. Это можно сделать аналитически, выражая зависимость Е(х,у,z) в виде формул. Однако, это можно сделать и графически с помощью так называемых линий напряженности или силовых линий.

Силовой линией, или линией вектора напряженности поля, называют ли­нию, проведенную в электрическом поле, для которой направление каса­тельной в любой точке совпадает с направлением вектора напряженности поля (рис.2)

`E

 

Рис.2 `E

 

Т.к. касательная определяет два взаимно противоположных направления, то силовой линии приписывают определенное направление, отмечая его на чертеже стрелкой.

Густота силовых линий на чертеже отражает величину напряжен­ности поля, а именно, число силовых линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к силовым линиям, равно (или пропор­ционально) величине напряженности поля в данном месте. Вследствие на­глядности графический способ представления полей широко применяют в электротехнике.

Из сказанного следует, что силовую линию можно провести через всякую точку поля. Далее, т.к. в каждой точке поля вектор напряженности имеет вполне определенное (одно!) положение, то силовые линии нигде не пересекаются.

В качестве примера рассмотрим картину силовых линий точечного заряда. Для точечного заряда `E||`r и линии напряженности направлены по радиусам, проведённым из заряда. Для положительного заряда (q>0) эти линии исходят из заряда и уходят в ¥ (рис.3 а). Для отрицательного заряда (q<0) `E направлен против радиус-вектора `r, а линии напряженности идут из ¥ и сходятся в точке нахождения заряда (рис.3 б). Как видно из рисунка, густота линий убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда, т.е. так же, как и

Рис.3.

напряженность поля.

Т.е. густота линий равна отношению полного числа линий N к ве­личине поверхности сферы радиуса r, т.е. N/4pr²~1/r².

На рис.4 показано электрическое поле между двумя равными по величине точечными зарядами одинаковых и противоположных (рис.5) знаков, расположенными на рас­стоянии l друг от друга (диполь).

 

Рис.4. Рис.5. (Дипольный момент Р = q l).

 

Связь между электрическим полем и его источником может быть выражена до­статочно просто. Для этого введём понятие потока вектора на­пряженности, которое используется при формулировке важнейших свойств электрического, магнитного и других векторных полей.

Рассмотрим в пространстве некоторое электрическое поле и замкнутую поверх­ность произвольной формы.

Разделим всю поверхность на столь малые части, что поверхность каждой части (элемента поверхности) мож­но считать практически плоской; на такой поверхности вектор напряженности электрического поля не будет заметно меняться. Направление элемента поверхности представим вектором нормали. За положительную нормаль к поверхности примем внешнюю нормаль, т.е. нормаль, направленную на­ружу. Способ разделения поверхности на элементы не имеет значения, пока элементы достаточно малы. Число силовых линий, равных скалярному произведению

N = (`E×`n)dS_i = Ф_i - называется потоком вектора напряженности через элемент поверхности dS_i.

Величина Ф может быть >0 и<0, т.к. нормаль может быть как поло­жительной, так и отрицательной.

Теперь сложим потоки через все элементы поверхности и получим поток через всю поверхность

Ф = ò (`E×`n)dS =ò (E_n ×dS,

где Е_n - проекция `Е на направление нормали к площадке dS, где интеграл берется по поверхности S.

Пусть Вас не пугает сложность вычисления таких интегралов для поверхностей сложной формы. Удивительное свойство, которое мы с вами сейчас рассмотрим, делает такие вычисления ненужными!

Теорема Остроградского-Гаусса.

1). Возьмём наиболее простой случай: предположим, что поле созда­но изолированным положительным точечным зарядом q и что поверх­ностью является сфера радиуса r, в центре которой расположен точечный заряд (Риc. 6). Чему равен поток Ф через такую поверхность?

 

Рис.6.

Ответить на этот вопрос легко, т.к. в каждой точке поверхности

`E = (1/4pe<sub>0</sub>)(q/r<sup>3</sup>)`r,

а поверхность сферы S=4pr², тогда

Ф = E×4pr²= (q/4pe₀ r²) 4pr²=q/e₀.

Как мы видим из этой формулы, поток не зависит от размеров сфе­ры.

2). Покажем теперь, что поток не зависит и от формы поверхности,
окружающей заряд q. Проведем две концентрические сферы разных радиусов. Мы увидим, что число линий напряженности электрического поля, пронизывающих сферы, одинаково. Между этими сферами линии вектора напряженности `Е идут непрерывно, нигде не заканчиваясь и не начинаясь вновь. Поэтому, если мы проведем между этими сферами замкнутую поверхность S₁ произвольной формы, тоже охватывающую заряд q, то поток вектора напряженности через эту поверхность также будет равен q/e₀.

Напомню, что линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются только на электрических зарядах. Если замкнутая поверх­ность не охватывает заряда, то поток вектора электрического поля через эту поверхность равен нулю, т.к. число силовых линий, входящих в поверхность, рав­но числу выходящих из неё.

3). Пусть поле создается не одним точечным зарядом, а произволь­ной системой точечных зарядов q₁, q₂, q_3…q_n. По принципу суперпозиции на­пряжённость результирующего электростатического поля равна векторной сумме напряжённостей электростатических полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

`E = `E₁+`E<sub>2</sub> +`E₃ +…+`E<sub>n</sub> = S`E_i.

поэтому проекция вектора `Е на на­правление нормали к площади dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов `Е_i на это направление

 

Поток напряженности результирующего поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую заряды q₁, q₂, …q_k, и не охватывающую заряды q_k+1…q_m, равен , но Ф_i=0, если i>k

поэтому

,т.е.

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной. Это и есть теорема Оетроградского -Гаусса применительно к электростатическому полю в вакууме.

Теорема Остроградского-Гаусса выведена нами как прямое следствие из закона Кулона. Она позволяет сравнительно просто рассчитывать электрические поля при симмет­ричных распределениях зарядов и окружающих их диэлектриков.

Для характеристики электрического поля наряду с `Е удобно ввести ещё одну векторную ве­личину `D, называемую электрическим смещением или электрической индукцией. Для поля в электрически изотропной среде связь `D и `E в СИ имеет вид

`D = ee<sub>0</sub> `E

Тогда _к

-теорема Остроградского-Гаусса.