Дифракция фраунгофера на одной щели.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна, рис.2.

 

Рис.2.

Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости.

Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение MN, то все его точки являются новыми источниками волн, распространяющихся во все стороны вперед от щели. Рассмотрим волны, распространяющиеся от точек плоскости MN в направлении, составляющем некоторый угол j с первоначальным. Эти волны, проходя через линзу, сойдутся в некоторой точке B на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Лучи, распространяющиеся от щели под различными углами, в результате интерференции дадут дифракционную картину.

Опустим из точки M перпендикуляр MF на направление выделенного пучка лучей. Тогда от плоскости MF и далее до фокальной плоскости Е параллельные лучи не меняют своей разности хода. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта MN до плоскости MF и различна для разных лучей.

Для расчета интерференции всех этих лучей применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию NF на ряд отрезков длиной l/2. На расстоянии NF = аsinj уложится

 

Z = (sinj)/(l/2) (1)

 

таких отрезков. Проводя из концов этих отрезков линии, параллельные MF, до встречи их с MN, мы разобьём фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины. Эти полоски и являются в данном случае зонами Френеля. Отсюда следует, что волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в точку B в противоположной фазе и гасят др. др. Если число зон четное, z = 2k (где k - целое число, неравное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно погасит др.др., так что при данном угле j на экране будет минимум освещенности. Углы j, соответствующие этим минимумам освещенности, находятся из условия:

 

а sinj_min = 2kl/2. (2)

В промежутках между минимумами наблюдаются максимумы освещенности при углах j, определяемых из условия

а sinj_max = (2k + 1)l/2. (3)

Для этих углов фронт MN разбивается на нечетное число зон Френеля z = 2k +1 и одна из зон остается непогашенной. Амплитуда в этом случае будет составлять долю ~ 1/(2k+1), а интенсивность ~ 1/(2k+1)² от суммарной амплитуды, создаваемой всеми зонами фронта MN.

Центральный максимум будет расположен в точке О против центра щели. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем увеличиваться до следующего максимума, см. рисунок. На экране Е будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к переферии.

Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения l/ а. Из (1) видно, что

z_max = a/ (l/2). (4)

Если щель очень узкая, а« l, то вся поверхность MN является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (2) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения k = 1 и во всех точках экрана будет свет. Такая щель является практически точечным источником света, и волна от неё будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.

Если щель очень широкая, а»l, то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом

(j₁)_min = arcsinl a»l a <<1. (5)

Следующий минимум будет при угле (j₂)_min» 2l/ a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской волны на экране мы увидим геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими перемеживающимися темными и светлыми полосками.

Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и z_max порядка 3-5.

При освещении щели монохроматическим светом дифракционные максимумы для различных цветов разойдутся. Как видно из (3), чем меньше l, тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы.

В центр экрана лучи всех цветов приходят совместно - если щель освещалась белым светом, то изображение в центре также будет белым. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка, обращенные фиолетовым краем к центру, рис.3. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

Рис.3.