Потенциал и работа сил электростатического

ПО­ЛЯ. ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА.

 

Для понимания свойств электрического поля большое значение имеет по­нятие разности потенциалов или электрического напряжения. К этому по­нятию мы придем, рассматривая работу сил электрического поля.

Предположим, что электрический заряд qперемещается в каком -либо электрическом поле (например, в электрическом поле плоского конденсатора, рис. 12), из некоторой точки 1 в другую точку 2. Так как на заряд в электрическом поле действует сила, то при таком перемещении будет произведена определённая работа А₁₂. Ясно, что если тот же заряд перемещается по прежнему пути в обратном направлении (от точки 2 к точке 1), то величина работы будет та же самая, но изменится её знак, т.е. А₁₂ ⁼ -А₂₁.

Покажем, что работа по перемещению заряда в электрическом поле не зависит от формы пути, по которому движется заряд, и определяется только по­ложением точек 1 и 2 - начала и конца пути заряда.

Допустим, что это не так, и что работа А^(L)₁₂ при перемещении заряда вдоль контура L (рис.12) не равна работе А ^(L’) ₁₂ для контура L’, причём оба контура соединяют одни и те же точки 1 и 2.

+ -

+ 2 -

+1

+ -

L L^¢

+ -

+ -

 

Рис. 12.

Тогда перемещая заряд по замкнутому контуру, составленному из контуров L и L’, мы найдём, что электрические силы совершают работу

 

А^(L)₁₂ + А^(L’)₂₁= А^(L)₁₂- А^(L’)₁₂,

 

которая не равна нулю. Но это противоречит общему закону сохране­ния энергии. Если заряды, создающие электрическое поле, неподвижны, то при пере­мещении подвижного заряда в окружающих телах не происходит никаких процессов. После возвращения заряда в исходную точку 1 мы не имеем никаких изменений в рассматриваемой системе тел и поэтому не можем получить ни выигрыша работы, ни её потери. Это значит, что наше пред­положение неверно, и что в действительности

А^(L)₁₂ =А^(L’)₁₂

 

Т.о., в электростатическом поле работа перемещении заряда между дву­мя точками не зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Иными словами: при перемещении заряда в электростатическом поле по замкну­тому контуру работа равна нулю.

Если заряд q₀ перемещается в поле,создаваемом_системой точечных за­рядов q₁,q₂,...q_n , то на него действует сила

`` = ₁ + ₂ +….+ _n,

а работа А равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляю­щих сил

А=А₁+А₂ + Аз+...+ А_n.

Полная работа А, как и каждая из работ А₁, А₂,.. А_n зависит от начального и конечного положений заряда q, но не зависит от формы его пути. _

Работа, совершаемая силой `F при перемещении заряда q₀ на отрезке d,

где

-угол между направлениями векторов `Е и dl.

В случае конечного перемещения заряда q₀ източки а в точку в работа сил поля

Работа, которую совершают силы электрического поля, перемещая единичный положительный заряд по замкнутому пути L, численно равна

Этот интеграл называется циркуляцией напряженности вдоль замкнутого кон­тура L.

Поскольку работа при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю, то

 

 

т.е. циркуляция напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, напряжённость Е которого удовлетворяет такому условию, называется потенциальным полем. Т.о. электростатическое поле является потен­циальным.

 

РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. Если в электрическом поле перемещается заряд (+1), то работа зависит только от существующего электрического поля и поэтому мо­жет служить его характеристикой. Она называется разностью потенциалов точек 1 и 2 в данном электрическом поле или электрическим напряжением между точками 1 и 2.

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле изме­ряется работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда (+ 1 ) из точки 1 в 2, т.е.

(1)

Е_l - проекция вектора Е на направление dl. Интегрирование производится вдоль любого контура L, соединяющего рассматриваемые точки, в направлении от точки 1 к точке 2.

Если в электрическом поле перемещается не единичный заряд, а заряд произвольной величины q, то в каждой точке сила, действующая на заряд, увеличится в q раз. Поэтому работа А₁₂, совершаемая силами поля при перемещении q из 1 в 2,равна

А₁₂ =qU₁₂. (2)

Из сказанного следует, что физический смысл имеет только разность потенциалов или напряжение между двумя точками поля, т.к. работа опре­делена только тогда, когда заданы две точки - начало и конец пути. Не­смотря на это, часто говорят просто о потенциале или напряжении в дан­ной точке. Однако при этом всегда имеют в виду разность потенциалов, но подразумевают, что одна из точек выбрана заранее. Такую постоянную точку часто выбирают "в бесконечности", т.е. на достаточном удалении от всех заряженных тел.

Если заряд (+1) перемещается по замкнутому контуру, например, сначала из 1 в 2 по контуру L (рис.12), а затем от 2 к 1 вдоль L’, то

U₁₂ +U₂₁ =U₁₂ -U₁₂ =0 (3)