Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике

Работа. Рассмотрим малое перемещение , в пределах которого силу , действующую на материальную точку, можно считать постоянной.

В механике вводится понятие элементарной работы силы на перемещение –

, где

α – угол между векторами и ;

– элементарный путь;

– проекция вектора на вектор .

 

Работа силы на всём участке 1-2 определяется интегрированием

.

Данное выражение справедливо не только для материальной точки, но и вообще для любого тела или системы тел. В этом случае под или следует понимать перемещение точки приложения силы.

Работу геометрически можно найти как площадь фигуры, ограниченной кривой , ординатами 1 и 2 и осью . При этом площадь фигуры над осью берётся со знаком «+» (положительная работа), а площадь фигуры под осью – со знаком «–».

Элементарную работу можно также представить как

,

а в декартовых координатах

.

Сила в общем случае – функция нескольких переменных, а элементарная работа силы не является, вообще говоря, полным дифференциалом какой либо функции координат точки. Поэтому принято элементарную работу обозначать символом , а не .

 

 

Примеры вычисления работы:

1) работа упругой силы , где – радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

– проекция вектора на вектор .

.

2) работа гравитационной силы

.

3) работа однородной силы тяжести , где – орт вертикальной оси Z, положительное направление которой выбрано вверх.

 

.

Если на тело в процессе движения действует несколько сил, результирующая которых , то работа результирующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении.

.

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).

Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени (т.е. скорость, с которой совершается работа).

.

Зная зависимость мощности от времени, можно найти работу

.

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт).

 

Энергией Е называется скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может лишь переходить из одной формы в другую (механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.).

Кинетической энергией К механической системы называется энергия механического движения этой системы.

Изменение кинетической энергии материальной точки происходит под действием приложенной к ней силы и равно работе, совершаемой этой силой:

 

.

Закон изменения кинетической энергии: приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все части системы

.

 

Значения скорости и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны в двух системах отсчёта, движущихся друг относительно друга. Рассмотрим инерциальную систему отсчёта К и систему К^*, движущуюся относительно К поступательно со скоростью .

Для каждой материальной точки .

Тогда

 

.

 

Для кинетической энергии системы

Здесь т – масса всей системы;

и К^* – значения импульса и кинетической энергии рассматриваемой системы в системе отсчёта К^*.

Если в качестве К^* -системы взять Ц -систему (систему центра масс), то и р^*= 0 т.к. любая система частиц как целое покоится в своей Ц -системе .

Получаем теорему Кёнига:

кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в её движении относительно Ц -системы и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.

Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела (центра инерции) и кинетической энергии вращения этого тела вокруг центра масс..

, где

и - момент инерции твёрдого тела и его угловая скорость вращения относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс.

Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью , то его кинетическая энергия

, где

– момент импульса тела относительно точки О, принятой за начало координат;

– момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через точку О и параллельной вектору .

 

Консервативные силы

Силу, действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения материальной точки. Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории точки между её начальным (1) и конечным (2) положениями, ни от закона движения точки по траектории

.

Работа консервативной силы на произвольной замкнутой траектории l точки её приложения равна нулю

 

.

Существуют силы, которые не принято называть консервативными, хотя они и удовлетворяют условиям для консервативных сил. Это силы, зависящие от скоростей материальных точек и направленные перпендикулярно этим скоростям. Работа таких сил, часто называемых гироскопическими силами, всегда равна нулю независимо от того, как движутся материальные точки, к которым они приложены. Например, сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нём заряженную частицу.

 

К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления движению в какой-либо среде. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на любом замкнутом пути).

 

Потенциальная энергия

 

Работа А _1-2, совершаемая консервативными (потенциальными) силами при изменении конфигурации системы, т.е. расположения её частей (материальных точек) относительно системы отсчёта, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации системы (1) в конечную (2). Работа А _1-2 полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Следовательно, её можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы W, называемой потенциальной энергией системы:

A _1-2 = W ₁ – W ₂.

 

Элементарная работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации системы:

.

 

Потенциальную энергию системы можно найти только с точностью до произвольного постоянного слагаемого. В каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости W от конфигурации системы выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальную энергию системы полагают равной нулю.

Таким образом, потенциальной энергией механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему консервативные силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние, соответствующее её нулевой конфигурации.

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из одной материальной точки, на которую действует консервативная сила

или

 

Откуда следует:

или

.

 

Вектор, стоящий в скобках и построенный с помощью скалярной функции W называется градиентом функции W и обозначается .

Итак , где

– оператор набла.

Пример 1. Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле силы тяжести.

;

h – высота подъёма тела над поверхностью Земли;

W₀ = 0 на поверхности Земли.

.

Пример 2. Потенциальная энергия упруго деформируемого тела.

по закону Гука;

при х = 0 (для недеформированного тела);

– деформация (удлинение или сжатие деформируемого тела).

.

 

Пример 3. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.

Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они зависят только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой – центром силы – и направлены всюду от центра силы либо всюду к центру силы. Если центр силы принять за начало координат, то центральная сила

, где

– радиус вектор, проведённый из центра силы в рассматриваемую точку поля;

– расстояние от точки до центра силы;

– проекция силы на радиус-вектор .

Для сил отталкивания ;

Для сил притяжения .

Докажем, что поле центральных сил потенциально:

т.к. и

.

Найдём потенциальную энергию материальной точки:

.

Обычно полагают, что . Тогда

.

 

а ) для гравитационного поля материальной точки или однородного шара , где

М – масса материальной точки или однородного шара, создающих гравитационное поле;

т – масса материальной точки, находящейся в рассматриваемом поле.

 

.

 

б) для электростатического поля точечного электрического заряда или равномерно заряженных шара или сферы .

.

 

Механической энергией системы называют величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы:

 

E = K + W.

Изменение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на систему, и изменения потенциальной энергии системы за рассматриваемый промежуток времени, обусловленного нестационарностью внешних консервативных сил

.

Если система замкнута то .

 

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы консервативные (потенциальные) либо не совершают работы (например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают).