Потенциальная энергия во внешнем поле.

Если частица находится в поле консервативных сил, то каждой точке поля можно сопоставить значение некоторой функции координат так, что работа сил поля при переходе между некоторыми двумя точками будет равна разности значений U(x, y, z) в этих точках поля. Эту функцию по определению и называют потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил.

Формально определение такой функции можно сделать следующим образом. Припишем некоторой исходной точке О произвольное значение U_о. Любой другой точке Р припишем значение

(3.17)

где А_ро - работа консервативных сил при перемещении частицы из точки Р в О. Значения определенной таким образом функции U(Р) в некоторых точках 1 и 2 будут равны:

и (3.18)

Соответственно разность значений U в точке 1 и точке 2:

(3.19)

Учитывая, что работа при перемещении из точки 2 в точку О (все перемещения заменяются на обратные), получаем

(3.20)

Сумма, стоящая в правой части соотношения (3.20) есть работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы из 1 и 2 по траектории, проходящей через точку О. Но, поскольку силы консервативные, эта работа не зависит от формы пути и равна просто - работе при перемещении из точки 1 в 2, по произвольной траектории:

(3.21)

Поэтому рассмотренная нами функция U(Р) соответствует определению потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил.

Как следует из соотношения (3.21), работа консервативных сил

(3.22)

т.е. равна убыли потенциальной энергии.

Отметим важную особенность определения потенциальной энергии в виде функции U(Р): потенциальная энергия определена нами с точностью до произвольной постоянной U_о, т.е. до значения приписанного некоторой произвольной исходной точке О. На первый взгляд может показаться, что такое определение оказывается странным, поскольку абсолютное значение потенциальной энергии в данной точке оказывается произвольным! В действительности это обстоятельство оказывается очень удобным, поскольку обеспечивает возможность выбора начало отсчета энергии желательным образом, так, как это необходимо при решении конкретной задачи. В то же время во все физические соотношения входит либо разность значений U, либо её производная, и потому константа U_о не усложняет их.

Поле консервативных сил является частным случаем потенциального поля. Потенциальным называют поле, которое можно описать с помощью некоторой функции П (x, y, z, t) градиент которой равен силе, действующей в каждой точке поля:

(3.23)

Функция называется потенциальной, и, если она не зависит от времени, то силы поля являются консервативными, а сама потенциальная функция равна взятой с обратным знаком потенциальной энергии частицы: П (x, y, z) = -U (x, y, z).

ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Как мы установили ранее (см. соотношение (3.10)), работа результирующей силы, действующей на частицу, идет на приращение ее кинетической энергии. Если на частицу действуют только консервативные силы, то их работа равна по формуле (3.22) равна убыли потенциальной энергии () и идет на приращение кинетической энергии частицы:

. (3.24)

Перегруппируем члены в соотношении (3.24) по индексам следующим образом:

. (3.25)

Формула (3.25) означает, что в отсутствие неконсервативных сил величина

(3.26)

не изменяется при движении частицы, а значит, является интегралом движения. Эту величину называют полной механической энергией частицы.

Если рассматриваемая система состоит из N невзаимодействующих частиц, находящихся в поле консервативных сил, то полная энергия системы также является интегралом движения. Действительно, для каждой частицы справедливо соотношение (3.23), поэтому

(3.27)

Тогда

(3.28)

Однако полная энергия сохраняется не всегда. Рассмотрим ситуацию, когда на частицу кроме консервативных действует не консервативная сила *. При переходе из точки 1 в 2 над частицей совершается работа:

(3.29)

Поскольку суммарная работа всех сил идет на приращение кинетической энергии, то можно записать

. (3.30)

Группируя в (3.30) слагаемые, получаем:

. (3.31)

А это означает, что работа неконсервативных сил равна приращению полной механической энергии частицы.

Типичными неконсервативными являются силы трения и сопротивления среды. Работа этих сил, как правило, отрицательна, поскольку они направлены противоположно перемещению. Поэтому действие этих сил обычно приводит к убыли (ΔЕ < 0) полной энергии за счет её перехода во внутреннюю энергию тел. Этот процесс называется диссипацией энергии, а соответственно силы, обеспечивающие ее, – диссипативными.