Одномерная потенциальная яма с конечными стенками

E

U 0

x

a 0/2

-a 0/2

Рассмотрим одномерную прямоугольную яму со стенками конечной высоты.

 

Рис.3.2. Одномерная прямоугольная яма со стенками конечной высоты.

Выберем начало координат на дне ямы симметрично относительно стенок:

(3.12)

Найдем сначала решения уравнения Шредингера внутри и вне ямы. Для получения общего решения необходимо “сшить” эти решения на границе ямы. При энергии частицы E > U ₀ имеем непрерывный спектр энергий, частица пролетает над ямой и может иметь любую энергию. В самом деле, внутри ямы имеем уравнение Вводя , записываем решение в этой области Вне ямы имеем уравнение Вводя волновое число , получаем решение вне ямы . Сшивая эти решения на границе, получаем, что любые энергии частицы разрешены. Таким образом, имеем сплошной спектр при E > U ₀.

Рассмотрим подробнее случай, когда энергия частицы E < U ₀. В этом случае мы получаем дискретный спектр связанных состояний. Для двух областей:

| x | < a /2 (3.13)

| x | > a /2 (3.14)

Введем оператор четности с помощью соотношения . Собственные числа оператора четности могут быть получены, если повторно подействовать им на исходную волновую функцию. Тогда получаем, что Таким образом, значения собственных чисел l = ±1. Для значения l = 1, получаем “четное” состояние, а для l = -1, имеем “нечетное” состояние. Поскольку , то оператор четности коммутирует с гамильтонианом рассматриваемой задачи

. (3.15)

Из (3.15) следует, что все собственные функции гамильтониана имеют определенную четность. Рассмотрим эти состояния поочередно.

Нечетные состояния. Запишем решения уравнений (3.13) и (3.14) для

нечетных состояний

а /2

- а /2

 

 

Рис.3.3. Схематический вид нечетной волновой функции в прямоугольной яме

конечной глубины.

 

(3.16)

На Рис.3.3. показано, что частица проникает вне области ямы, при этом глубина проникновения частицы под барьер .

Из условий непрерывности волновой функции и её производной на границе x = a /2 следует:

(3.17)

Делением верхнего уравнения на нижнее уравнение получаем, что

(3.18)

Это трансцендентное уравнение определяет энергии разрешенных состояний. То же самое уравнение получим в силу симметрии из граничного условия при x = - a /2. Введем обозначение , тогда для правой части (3.18) получаем

,

где введен параметр мощности ямы:

. (3.19)

Для определения спектра надо решить трансцендентное уравнение

. (3.20)

Рассмотрим решение этого уравнения графически, для чего построим отдельно правую и левую части уравнения. Точки пересечения дают корни этого уравнения. Из рисунка видно, что решения имеются не при всех t. Чем больше мощность ямы t, тем больше корней уравнения - больше уровней энергии. При уменьшении t число корней уменьшается. А при мощности , т.е. при

,

корней соответствующих нечетным состояниям нет вовсе. Напомним, что t ₀ = 0 и E ₀ = 0 не являются корнями, т.к. при этом решение внутри ямы есть , которое не удовлетворяет граничным условиям.

p/2

p

3p/2

2p

t

tgt

t

 

 

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий нечетных состояний.

 

Итак, для нечетных состояний, получаем:

- при мощности ямы нет дискретных состояний;

- при мощности ямы существует 1 нечетное состояние;

- при мощности ямы существует 2 нечетных состояний и т.д.

Четные состояния. Запишем теперь решения для четных состояний:

(3.21)

На границе ямы при x = a /2 имеем:

(3.22)

Откуда получаем новое трансцендентное уравнение

или . (3.23)

В силу симметрии то же уравнение дают граничные условия при x = - a /2. Из графического решения этого уравнения видно, что при всех возможных значениях параметра t хоть одно решение есть всегда. Чем больше t, тем больше четных решений.

p/2

p

3p/2

2p

t

tgt

t

 

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий четных состояний.

 

Итак, при мощности ямы получаем одно четное решение, при мощности получаем два четных решения и т.д.

Рассмотрим теперь “мелкую” яму, для которой t << 1. Для такой ямы достаточно легко найти энергию единственного четного состояния (t £ t << 1).

Из (3.23) следует, что Решая это уравнение, получаем

Вспоминая, что и , записываем для квадрата волнового числа

а для энергии

(3.24)

Первый (четный) уровень энергии находится теперь у самого “верха” ямы.

В одномерной яме с конечными стенками всегда существует хотя бы одно связанное состояние. При малой глубине и ширине (мощности) ямы в яме имеется только один четный уровень. С ростом U ₀ и a растет мощность ямы, и появляются новые уровни при прохождении параметром t значений , где n – целое число. Четные и нечетные уровни появляются по очереди, причем вначале четные. Качественное поведение волновых функции низших состояний показано на Рис.3.5. Возводя в квадрат эти волновые функции, получаем плотность вероятности нахождения частицы при данной координате.

 

E 1

U 0

x

a 0/2

-a 0/2

E 2

y1

y2

y3

n= 1

n= 2

n= 3

 

E 3

 

Рис.3.5. Качественное поведение волновых функции низших состояний.

 

 

В одномерной потенциальной яме хотя бы один уровень существует всегда, но это не так в трехмерной потенциальной яме. Для нее существование хотя бы одного уровня зависит от “мощности” потенциальной ямы: , где U ₀ – глубина ямы, а a – ее размер. При малых мощностях ямы энергия частицы тоже должна быть малой, т.е. частица имеет большую волну де Бройля, и она как бы не “помещается” внутри ямы.

 

 

Потенциальные барьеры

U

x

D x

U 0

Одномерный потенциальный барьер определяется зависимостью потенциальной энергии от координаты . Если на каком-то участке координаты x потенциальная энергия возрастает (или падает), то говорят об одномерной потенциальной ступеньке.

Рассмотрим задачу, когда на одномерную потенциальную ступеньку налетает частица. Если выполняется условие, что размер области изменения потенциальной энергии D x мал по сравнению с волной де Бройля частицы , то тогда можно считать барьер прямоугольным, для которого .

В классическом случае, если энергия налетающей частицы E < U ₀, то частица с достоверностью отражается и в правую область не проникает. Если ее энергия E > U ₀, тогда частица с достоверностью проходит над барьером и в правой области она движется с меньшей скоростью . В рамках квантово-механического рассмотрения решается уравнение Шредингера в области до порога x < 0 и после порога x > 0, а затем решения “сшиваются” на границе (x = 0).

Прямоугольный потенциальный барьер.

Пусть на прямоугольный потенциальный барьер (Рис.3.6) слева падает поток частиц с полной энергией , меньшей величины барьера.

U 0

U

x

a

I

II

III

E

 

а

2 G

2 A

U 0

E

 

Рис.3.6. Прохождение частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер.

 

Потенциальная энергия

(3.25)

Разобьем пространство на три части I, II и III. В I и III областях имеем уравнение Шредингера для свободной частицы:

. (3.26)

Его решения:

I область , (3.27)

III область . (3.28)

Во II области имеем:

. (3.29)

Соответствующее решение под барьером

(3.30)

Волна exp (ikx) движется в положительном направлении оси x, а волна exp (- ikx) - в обратном. В III области не будет волны в обратном направлении оси x, т.к. из бесконечности нет потока частиц. Окончательно

. (3.31)

На границах полная волновая функция и ее первая производная непрерывны. Эти граничные условия дают систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D и G.

При x = 0 . (3.32)

 

При x = a . (3.33)

Введем коэффициенты отражения и прохождениякак отношение плотностей потока

. (3.34)

В I области поток вправо определяется волной, распространяющейся вдоль оси x, . Поэтому

(3.35)

Поток влево в I области определяется волной , а

(3.36)

Коэффициент отражения определяется

(3.37)

Коэффициент прохождения (поток пройденной волны определяется волной ):

(3.38)

В первой паре уравнений (3.32) сложим два уравнения, избавляясь от коэффициента В.

Во второй паре уравнений (3.33) делим на a второе уравнение, затем складывая и вычитая, получаем следующие два соотношения:

Выражая отсюда 2 С и 2 D и подставляя их в предыдущее уравнение, имеем

Раскрывая скобки, получаем

Введем гиперболический косинус и гиперболический синус:

Для них выполняется теорема Пифагора

Тогда:

Теперь, раскрывая скобки и учитывая теорему Пифагора, получаем для отношения квадратов:

. (3.40)

Здесь .

Результирующее выражение для коэффициента прохождения имеет вид

. (3.41)

Исследование коэффициентов прохождения и отражения. То, что коэффициент прохождения не равен нулю при полной энергии частицы меньшей потенциального барьера E < U ₀ – называется туннельным эффектом. В классической физике ничего подобного нет, туннельный эффект – чисто квантовый эффект.

При условии a a >> 1 можно получить для коэффициента прохождения Т:

 

,

 

или

Коэффициент отражения определяется соотношением . Подставляя решения системы уравнений (3.32) - (3.33), получаем

. (3.42)

Как и должно быть из закона сохранения вероятности

. (3.43)

Случай E > U ₀.

Решение получается тем же путем, как и ранее, только в области II имеем решение, описывающее движение свободной частицы с . В итоге мы получаем те же формулы для коэффициентов прохождения и отражения, только "a" меняем на " i a" и " Sh " на "- iSin ":

, (3.44)

. (3.45)

В общем случае мы имеем коэффициент отражения не равный нулю (и ), т.е. частица может отразиться от барьера и при энергии, превышающей величину барьера, когда по классической механике частица проходит с достоверностью над барьером.

Однако, есть характерные энергии, когда коэффициент отражения равен 0, а коэффициент прохождения равен 1:

(3.46)

При таких энергиях частица пролетает над барьером с достоверностью и при квантовом рассмотрении. Заметим, что при этом целое число полуволн де Бройля укладывается на барьере, чему соответствует условие .

Аналогичное решение для коэффициентов прохождения и отражения получаем для барьера в виде прямоугольной ямы, при этом меняется только " U ₀" на "- U ₀".

Отметим, что в общем случае коэффициент отражения не равен нулю. Коэффициент прохождения обращается в единицу только для таких энергий когда на размере ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

Барьер произвольной формы.

x 1

x 2

x

D x

U (x)

y1

y2

Если барьер U = U (x) произвольной формы, то задачу о прохождении частицы можно решить приближенно. Пусть E = const и тогда равенство E = U (x) определяет 2 точки a и b, где частица классически “входит” и “выходит” из барьера. Сам барьер можно представить в виде суммы прямоугольных барьеров, причем каждый из них рассматривать отдельно, как ранее.

 

Рис.3.7. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер произвольной формы.

 

 

Приближенно задачу можно решить, если барьеры достаточно широкие, и при этом импульс p (x) и соответствующая волна де Бройля медленно меняются на расстоянии ~ l. Это условие называется условием применения квазиклассического приближения. В самом деле, воспользуемся описанием изменения волновой функции при распространении частицы в пространстве с постоянным потенциалом, а именно: , где p (x) = const (временной множитель не существенен для определения координатной зависимости). Разбивая барьер на маленькие прямоугольные барьеры шириной D x, можно считать, что на ширине D x такого барьера U (x) = const и импульс частицы не меняется . Можно записать последовательность приближенного изменения волновой функции при переходе от одного барьера к другому:

………

Тогда связь волновой функции на выходе из барьера с волновой функцией на входе записывается, как

.

Коэффициент прохождения через барьер произвольной формы

Здесь мы поменяли местами потенциальную и полную энергии частицы. В итоге

. (3.47)

Выражение (3.47) позволяет найти коэффициент прохождения через барьер произвольной формы в квазиклассическом приближении.