Нестационарная теория возмущений

Если оператор возмущения зависит от времени, то необходимо рассматривать нестационарное уравнение Шредингера

 

(6.11)

 

В (6.11) где - оператор, собственные функции и собственные значения которого известны в силу

 

.

 

Подставим в (6.11) разложение волновой функции в ряд по

 

(6.12)

 

Получаем

,

 

. (6.13)

Умножая обе части уравнения слева на и интегрируя по пространственным координатам, находим основное уравнение нестационарной теории возмущении

,

или

. (6.14)

Пусть возмущение включается в момент времени t = 0, когда система находится в состоянии . Это означает, что

.

Тогда в первом порядке (6.14) примет вид

(6.15)

Интегрируя, получаем

 

. (6.16)

 

Итак, при отличны от нуля. Это означает, что при измерении энергии системы мы теперь будем получать не только , но и любые другие собственные значения с вероятностью ≠0.

Система будет находиться в состоянии

,

энергия которого неопределенна и .

§6.3. “Золотое ” правило Ферми

Рассмотрим случай гармонического возмущения . Тогда матричный элемент возмущения . Вычислим

. (6.17)

Если то первым членом можно пренебречь и после несложных преобразований получить вероятность перехода из состояния n в состояние m

(6.18)

В пределе функция . Известно, что для функции Дирака имеет место равенство . С учетом этого свойства

 

. (6.19)

Самым важным здесь является то, что вероятность перехода пропорциональна времени. Другими словами, вероятность перехода в единицу времени

(6.20)

пропорциональна квадрату соответствующего матричного элемента. Последнее выражение получило название “золотого ” правила Ферми.

 

Приложение 1. Волновая функция системы многих частиц в формализме чисел заполнения.

Рассмотрим полный гамильтониан системы N тождественных невзаимодействующих фермионов ,

частным решением которого является произведение

,

где - ортогональная система собственных функций одночастичного уравнения Шредингера .

Так как мы имеем дело с системой тождественных фермионов, то её волновая функция должна менять знак при перестановке любой пары частиц. Этого можно добиться, представив волновую функцию в виде детерминанта Фока - Слэтера

(П1.1)

Индекс нумерует одночастичные состояния. Если два любых индекса совпадают, то волновая функция обращается в ноль. Как правило, используется стандартная последовательность - Для краткости выражение (П1.1) записывается в форме

, (П1.2)

где символ обозначает число частиц, находящихся в собственном состоянии i с волновой функцией . Числа называются числами заполнения, а (П1.2) – записью координатной части волновой функции многих частиц в представлении чисел заполнения. Для фермионов все числа заполнения могут принимать только два значения 0 и 1. Важно отметить, что, так как образуют полную ортогональную систему собственных функций, то детерминанты Фока – Слэтера также образуют полную ортогональную систему функций. Для бозонов числа заполнения могут принимать любые значения 0,1, 2,….

Формализм чисел заполнения особенно удобен, когда полное число частиц N может изменяться от 0 до ∞. Система базисных функций для этого случая показана в Табл.1.

Таблица 1.

N
	…
и т.д.

Состояние без единой частицы называется истинным “вакуумом”. Совокупность всех функций образует полную ортогональную систему в обобщённом гильбертовом пространстве, где число частиц переменно.

До сих пор мы рассматривали только систему независимых фермионов. В присутствии взаимодействия многочастичные волновые функции должны выражаться в виде линейных комбинаций типа

 

(П1.3)

Приложение 2. Операторы в формализме чисел заполнения (вторичного квантования).

Представим себе исходную систему, которая находится в состоянии = Пусть теперь эта система подверглась внешнему воздействию , в результате которого она перешла в состояние . Другими словами, действие оператора сводится в уничтожению частицы в одном состоянии и создании (рождении) частицы в другом. Чтобы описать все воздействия в системе, вводят два основных оператора: оператор уничтожения который уничтожает частицу в состоянии , и оператор рождения , который рождает частицу в состоянии .

Для фермионных операторов вводятся правила:

(П2.1)

Отсюда следует, например, что:

= 0,

Все состояния можно получить, действуя операторами на функцию основного состояния

.

Из (П2.1) следует, что операторы и “эрмитово сопряжены” друг с другом, т.е.

, (П2.2)

где знак “ ” соответствует эрмитову сопряжению. Отсюда следует, что сами операторы и неэрмитовы и поэтому не отвечают наблюдаемым переменным. Легко показать, что оператор , который называется оператором числа частиц, является эрмитовым оператором. Оператор полного числа частиц также эрмитов. В общем случае, из (П2.1) следует, что

(П2.3)

Для фермионных операторов рождения и уничтожения выполняются коммутационные соотношения:

(П2.4)

В коммутационных соотношениях уже заложены свойства антисимметрии волновой функции по отношению к перестановкам частиц.

Все операторы квантовой механики можно записать в виде различных комбинаций этих двух операторов. Для этого потребуем равенства матричных элементов оператора, вычисленных в формализме чисел заполнения (вторичного квантования), и в обычном формализме квантовой механики. Тогда одночастичный оператор с матричными элементами

в представлении чисел заполнения будет иметь вид

= . (П2.5)

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть

.

Аналогичным образом показывается, что двухчастичный оператор (потенциал межэлектронного взаимодействия

)

принимает вид

= , (П2.6)

 

где . (П2.7)

Результаты (П2.5) и (П2.6) остаются справедливыми и для бозонов. При этом надо только изменить соотношения антикоммутации (П2.4.) на соотношения коммутации.

Таким образом, многочастичный гамильтониан системы N взаимодействующих электронов (в поле N ионов) во внешнем потенциале

на языке вторичного квантования записывается в виде

, (П2.8)

где – собственные функции, и собственные значения одночастичного оператора .

К сожалению, из-за наличия слагаемых типа для решения уравнения Шредингера с гамильтонианом (П2.8) приходится прибегать к целому ряду приближений, вводя модельные гамильтонианы. В твердом теле важнейшими модельными гамильтонианами являются:

гамильтониан Хаббарда - , (П2.9)

гамильтониан Гейзенберга - . (П2.10)

В последнем выражении - параметры обменного взаимодействия Гейзенберга между атомными спинами и .

 

Литература.

1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (серия Теоретическая физика, том 3), Москва, Физматлит, 2001г.

2. И. Е. Иродов, Квантовая физика, Москва, Физматлит, 2002г.

3. Д.И. Блохинцев, Основы квантовой механики. Москва, Высшая школа, 1983.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Глава 1. Введение 4

§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм 4

§1.2. Волныде Бройля и их экспериментальное подтверждение 6

§1.3. Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение

неопределенностей 10

Глава 2. Математический аппарат квантовой механики 15

§2.1. Уравнение Шредингера 15

§2.2. Операторы. Собственные функции и собственные значения 19

§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства 24

§2.4. Вычисление средних значений. Обозначения Дирака 30

§2.5. Дифференцирование операторов по времени 32

Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении 33

§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими

стенками 33

§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными 37

§3.3. Потенциальные барьеры 44

§3.4. Линейный гармонический осциллятор 54

§3.5. Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора

при помощи операторов рождения и уничтожения 62

 

Глава 4. Момент импульса 66

§4.1. Момент импульса в квантовой механике 66

§4.2. Оператор момента импульса в сферической системе

координат 68

§4.3. Оператор квадрата момента импульса в сферической

системе координат 70

Глава 5.Физика атомов. 71

§5.1. Уравнение Шредингера в центральном поле. Разделение

переменных 71

§5.2. Уравнение для радиальной части волновой функции.

§5.3. Уравнение для угловой части волновой функции.

§5.4. Спин электрона. Состояния электронов в атоме.

Глава 6. Теория возмущений.

§6.1. Стационарная теория возмущений.

§6.2. Нестационарная теория возмущений.

§6.3. “Золотое ” правило Ферми.

Приложение 1. Волновая функция системы многих частиц в формализме

чисел заполнения

Приложение 2. Операторы в формализме чисел заполнения

Приложение 3. Гамильтониан Гейзенберга