Уравнение для радиальной части волновой функции

Введя постоянную l, запишем уравнение для радиальной части

(5.8)

Это уравнение зависит от потенциала U(r). Поэтому, чтобы решать данное уравнение необходимо знать конкретный вид центрального потенциала. Для атома водорода Естественная система единиц включает в себя фундаментальные постоянные .

Введем атомную систему единиц, где:

· единицей длины является (боровский радиус),

· единицей энергии - ,

· скорости где - постоянная тонкой структуры.

Чтобы перейти к этой системе единиц надо во всех формулах положить

.

Тогда

(5.9)

Это уравнение можно также записывать в виде

Величина, заключенная в скобки, называется эффективным потенциалом Благодаря второму слагаемому возникает центробежный барьер, не позволяющий электрону “упасть” на ядро. После замены , получаем для радиальной функции c уравнение, не содержащее первой производной:

(5.10)

Будем решать уравнение Шредингера для случая, когда энергия собственных состояний отрицательна (E<0) и введем параметр

Тогда

(5.11)

Найдем асимптотику функции при . Для этого в (5.11) следует пренебречь вторым и третьим членами уравнения, в результате чего получаем уравнение , решением которого будет функция

 

В пределе надо рассмотреть Этому уравнению удовлетворяет функция . Из условия следует, что или . При отрицательном значении k в нуле стремится к бесконечности, поэтому , а Для функции имеем

(5.12)

Решение ищем в виде ряда

(5.13)

После подстановки этого ряда в (5.12) получаем рекуррентное соотношение

2 (5.14)

Таким образом, и, если ряд не оборвать, он сходится к функции . В этом случае функция также стремится к бесконечности, хотя из физических соображений она должна стремиться к нулю. Чтобы обеспечить правильное поведение волновой функции в этом пределе ряд (5.14) надо оборвать на некотором s = n_r. Тогда

(5.15)

Полином при подходящем выборе называется полиномом Лагерра - ). Собственные значения энергии в атоме водорода определяются соотношением

(5.16)

В последней формуле мы ввели новое целое квантовое число которое может принимать целые положительные значения Это число, от которого зависят уровни энергии, получило название главного квантового числа. Окончательное решение радиального уравнения Шредингера для атома водорода имеет вид:

, (5.17)

где .

Рассмотрим состояния с , для которых а – константа, которую можно легко найти из условия нормировки ,

используя известный интеграл . Таким образом, получим

В этих состояниях В основном состоянии (n=1) Зная , из (5.14) можно найти все остальные и . Для значений n = 1, 2 и 3 радиальные функции атома водорода имеют вид:

Энергии стационарных состояний водородоподобного атома определяются только главным квантовым числом n (для водорода Z=1)

.

В естественных единицах

В общем случае решение радиального уравнения Шредингера для атомов выполняется численно, что связано с необходимостью учета внутриатомных эффектов взаимодействия между электронами.

 

Уравнение для угловой части

Угловая часть волновой функции находится из уравнения

(5.18)

Записывая явный вид оператора Лежандра, имеем

. (5.19)

Перепишем (5.19) в виде

(5.20)

Уравнение для угловой части не зависит от конкретного вида потенциала U (r) и для всех центральных полей имеет одно и то же решение. Это уравнение также можно разделить, если подставить в (5.20)

, где .

Действуя, как и ранее, получаем

. (5.21)

Это уравнение называется присоединенным уравнением Лежандра. Из математики известно, что его решения имеют вид

 

(5.22)

 

Функции называются присоединенными полиномами Лежандра. Они cвязаны с полиномами Лежандра соотношением

(5.23)

 

Полиномы Лежандра определяются формулой Родригеса

(5.24)

Приведем значения некоторых из присоединенных полиномов Лежандра:

 

 

Соответствующие сферические гармоники , которые нормированы и ортогональны по индексам l и m, имеют вид:

Теперь мы можем записать полное решение уравнения Шредингера для

атома водорода (в атомной системе единиц)

 

(5.25)

 

нормировка радиальной функции учитывается в коэффициентах . Для водородоподобного атома надо в этом выражении заменить на .

Уровень вырожден по числам т.к. при заданном главном квантовом числе n орбитальное число пробегает значения от нуля до n-1, а Кратность вырождения равна

(5.26)

т.е. каждому соответствует волновых функций.