Тема 7. Применение уравнения Шредингера.

1. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора. Энергия осциллятора, напишите выражение и нарисуйте схему энергетических уровней. Нулевая энергия. Как можно качественно объяснить нулевую энергию на основе соотношения неопределенностей?

 

В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы: , частота колебаний .

Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора:

- полная энергия квантового осциллятора n=0,1,2,…,¥.

- эта величина называется нулевой энергией осциллятора n=0.

 

- соотношение неопределенностей.

Dх»А - неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний.

Dр»р=m =mwА - неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний =wА.

- нулевая энергия осциллятора.

2. Напишите уравнение Шредингера и его решение для частицы в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. Найдите выражение для энергии частицы.

 

Частица массой m, находятся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения:

1)Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю. Высота стенок ямы ®¥, т.е. частица не может выйти из ямы.

2)Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£х£а (одномерная задача).

Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной пот. яме: .

При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y(х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Решение такого дифференциального уравнения имеет вид: .

Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие: , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы. отсюда следует: т.к. sin0=0, а cos0=1¹0, то В=0. Таким образом, получаем: .

Величину w найдем из второго краевого условия: , следовательно: , отсюда: , n=1,2,3… Окончательно имеем: . А найдем из усл. норм.: .

, отсюда: .

- пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Найдём вторую производную пси-функции и поставим в уравнение Шрёдингера, получим: - энергия частицы в одномерной потенциальной яме.

3. Напишите уравнение Шредингера и его решение для электрона в атоме водорода в основном состоянии. Что такое радиальная плотность вероятности ? Нарисуйте график , где r - радиальная координата; дайте пояснения.

 

В этом случае используются сферические координаты: радиус-вектор r и угловые координаты j и q.

Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода в основном состоянии: , - пот. энергия электрона в атоме Н Z=1 ().

Решение уравнения: ; ; - первый боровский радиус.

r называется радиальной плотностью вероятности, по смыслу - это вероятность обнаружить электрон в сферическом слое единичной толщины.

; - плотность вероятности; - площадь сферы.

Максимальная вероятность обнаружить электрон при наименьшей его энергии совпадает с 1-ым боровским радиусом а. Энергия электрона в атоме водорода квантуется, выражение для нее получается такое же, как в теории Бора.

 

 

Тема 8. Квантовые числа.

1. Квантовые числа n, l, m, m_s и их связь с физическими характеристиками состояния электрона.

 

Состояние электрона в квантовой системе полностью описывается с помощью 4-х квантовых чисел: n, l, m, m_S.

1)n=1,2,3,…,¥ - главное квантовое число входит в выражение для энергии электрона.

2)l=0,1,2,…,(n-1) - орбитальное квантовое число входит в выражения для орбитальных механического L_ОРБ и магнитного p_ОРБ моментов электрона в атоме. Показывает, что орбитальные моменты квантуются, т.е. могут принимать только дискретные значения.

- механический орбитальный момент (момент импульса).

- магнитный орбитальный момент.

3)m=-l,...,-1,0,+1,...,+l - магнитное квантовое число входит в выражение для проекций орбитальных моментов на направление Z внешнего поля. Показывает, что плоскость, в которой движется электрон во внешнем поле ориентируется только определенным образом, так чтобы проекции моментов были кратны или .

 

4) - магнитное собственное квантовое число входит в выражение для проекций собственного механического L_СОБСТ и магнитного р_СОБСТ моментов на направление Z внешнего поля. Показывает, что ориентация собственных моментов может иметь только два значения.

 

2. Получите выражение, связывающее механический и магнитный моменты орбитального движения электрона в атоме. Напишите условия квантуемости этих моментов. Магнетон Бора. Гиромагнитное отношение.

1) - механический орбитальный момент (момент импульса).

- магнитный орбитальный момент.

Гиромагнитное отношение: - отношение орбитальных магнитного и механического момента (как вектор векторы они направлены противоположно, НАСЧЁТ МИНУСА - ВОПРОС).

2)Орбитальные моменты квантуются, т.е. могут принимать только дискретные значения:

Магнетон Бора (магн. моменты принято выражать в магнетонах бора): .

3. Проекции орбитальных и собственных моментов электрона на направление внешнего поля. Квантуемость этих величин. Спин электрона. Опыты Штерна и Герлаха. Как следует понимать выражения «частица с целым или полуцелым спином»?

1) - проекция орбитального механического момента на направление Z. Плоскость, в которой движется электрон во внешнем поле ориентируется только определенным образом, так чтобы проекция момента была кратна .

- проекция орбитального магнитного момента на направление Z. Кратна .

2) - проекция собственного механического момента на направление Z (2 зн).

- проекция собственного магнитного момента на направл. Z (2 зн).

Спин - собственный механический момент (момент импульса) электрона , связанный с вращением электрона вокруг собственной оси.

s=1/2 - спиновое квантовое число.

имеет только одно значение.

В квантовой механике различают частицы с «целым» спином (бозоны) и «полуцелым» спином (фермионы). Подразумевается, что проекция спина либо кратна , либо кратна половине .

 

4. Принцип Паули. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева. Последовательность заполнения электронами энергетических оболочек атомов. Формула электронной конфигурации атомов. Как объясняются нарушения последовательности заполнения оболочек?

 

Принцип Паули: «Никакие два электрона в атоме не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, каждый электрон должен иметь свой набор квантовых чисел n, l, m, m_S».

Принципу Паули подчиняются микрочастицы, которые имеют полуцелый спин - электрон, протон, нейтрон, нейтрино. Частицы с полуцелым спином называют фермионами. Принцип Паули объясняет, почему электроны в многоэлектронных атомах образуют энергетические оболочки и подоболочки.

Кол-во эл. с одинак. n, l, m, m_S: 1

Кол-во эл. с одинак. n, l, m: 2

Кол-во эл. с одинак. n, l: 2(2l+1)

Кол-во эл. с одинак. n, алгебр. сумму:

Распределение электронов в атомах определяется:

1. принципом Паули;

2. принципом наименьшей энергии.

Заполнение оболочек атомов: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s² 4p⁶ 4d¹⁰ 4f¹⁴ и т.д.

K L M N

Здесь 1,2,3,4… - главные квантовые числа n; s,p,d,f… - буквенные обозначения орбитальных квантовых чисел l (подоболочки); K,L,M,N... - оболочки. Верхние индексы - количество электронов с данными n и l. Сумма верхних чисел дает общее количество электронов в данном атоме.

Подобное распределение является идеализированным (против правила Клечковского). Оно было бы таким, если бы каждый электрон в атоме взаимодействовал только с ядром атома. В действительности данный электрон испытывает действие остальных электронов атома. Часто энергетически выгодным оказывается состояние, когда нижняя оболочка заполнена не полностью, а начинает заполняться следующая. Нарушения в заполнении электронных оболочек атомов наблюдаются у № 19 - калий и более тяжелых элементов.