Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойстваСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Непосредственно измеряемые (“наблюдаемые”) физические величины вещественны, т.е. все собственные значения оператора - { gn } должны быть вещественны. В результате измерения физической величины, описываемой оператором ,получаем: 1) если физическая система (частица) находится в состоянии, описываемом собственной функцией , то при измерении получим соответствующее собственное значение gn; 2) если система (частица) описывается произвольной функцией , то при измерении наблюдаемой, т.е. действии оператора , получим линейную комбинацию из собственных значений gn - некое среднее значение, которое тоже вещественно. Введем понятие транспонированного оператора , который определяется из соотношения , (2.34) т.е. транспонированный оператор дает тот же результат, действуя на левую функцию, что и оператор , действуя на правую. Самосопряженные операторы определяются следующим равенством где - оператор, сопряженный к оператору . Если (2.36) то этот оператор называется эрмитовым или самосопряженным оператором. Можно сказать, что действие оператора на правую от него функцию совпадает с действием комплексно сопряженного оператора на левую функцию: Таким образом, сопряженный оператор – это комплексно сопряженный оператор от транспонированного оператора Рассмотрим оператор дифференцирования . Будем считать, что волновые функции равны нулю на бесконечности. Вычислим оператор, сопряженный оператору с помощью интегрирования по частям: Таким образом, оператор, сопряженный оператору , равен и, следовательно, оператор не являетсяэрмитовым. Очевидно, что оператор импульса - самосопряженный оператор. Оператор координаты также эрмитов оператор. Рассмотрим уравнения и (2.39) Данное равенство означает, что собственные значения эрмитова оператора в ещественны. Произведение двух эрмитовых коммутирующих операторов есть эрмитов оператор Пусть мы имеем дискретный набор собственных значений и собственных функций эрмитова оператора (причем считаем, что нет вырождения, т.е. все волновые функции разные для разных собственных значений ): В математике строго доказано, что набор собственных волновых функций эрмитова оператора образует полную систему ортонормированных волновых функций, т.е.
В самом деле, для доказательства ортогональности рассмотрим два равенства Умножим слева первое уравнение на , второе на , и проинтегрируем. Вычитая второе уравнение из первого уравнения и учитывая, что ( - эрмитов оператор) , получаем: , Отсюда следует, что если l n ¹ l m, то . Полнота набора означает, что любую функцию можно разложить в ряд по функциям . В случае, когда имеем вырождение, волновая функция берется в виде линейной комбинации , где все волновые функции имеют одно и то же собственное значение . При этом линейные комбинации можно сделать такими, что новые волновые функции будут ортонормированными. Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд по системе собственных функций самосопряженного линейного оператора Коэффициенты разложения можно получить, умножив обе части выражения на и интегрируя: Таким образом, Квадрат коэффициента | | дает вероятность того, что в состоянии, описываемом , присутствует примесь состояния . Если имеем непрерывный спектр значений, тогда волновую функцию раскладываем в интеграл , (2.47) где коэффициенты определяются Волновые функции непрерывного спектра нормируются на d -функцию Свойства d- функции. Функция везде равна нулю за исключением точки x = a, где она обращается в бесконечность: или
или Геометрически d-функцию можно рассматривать как предел максимума, стремящегося к бесконечности в точке a и сохраняющего площадь под кривой равной единице. Важное свойство d- функции состоит в том, что она “вырезает” из функции в подынтегральном выражении значение этой функции в точке a Последнее условие и нормировка позволяет получать коэффициенты .
|
|||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-15; просмотров: 2292; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.112.44 (0.008 с.) |