Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения

 

Существует более простой и современный метод решения уравнения Шредингера гармонического осциллятора, основанный на представлениях об операторах рождения и уничтожения. Кроме того, в этом параграфе воспользуемся формализмом Дирака.

 

 

Введем операторы:

, . (3.68)

 

Прямым вычислением легко показать, что их коммутатор

 

[ ]=1. (3.69)

 

Гамильтониан одномерного квантового осциллятора записывается с помощью этих операторов в виде

 

. (3.70)

 

Удобно определять в дальнейшем энергию в единицах тогда . Используя (3.69), нетрудно показать, что

. (3.71)

 

Пусть - нормированное собственное состояние с энергией

E_n = n+1/2, т.е.

. (3.72)

Тогда и - собственные состояния (ненормированные) с энергией +1 и 1 соответственно. Действительно,

 

, (3.73)

. (3.74)

 

Таким образом, действие оператора на состояние переводит его в состояние , то есть повышает энергию состояния на единицу, , а действие оператора a на состояние переводит его в состояние , то есть понижает энергию состояния на единицу.

Интерпретация: состояние содержит nодинаковых частиц (квантов) с энергией E = каждая. Оператор называют повышающим оператором или оператором рождения такой частицы, а оператор - понижающим оператором или оператором уничтожения. Состояние , соответствующее условию n=0 (отсутствию возбуждений) называется основным состоянием. Понизить энергию этого состояния нельзя, поэтому это состояние должно удовлетворять уравнению .

Заметим, что собственные значения оператора

 

(3.75)

равны n, поэтому называют оператором числа частиц. Найдем коэффициент cn. Для этого вычислим норму вектора :

 

= . (3.76)

Таким образом, нормированное состояние должно быть определено, как

. (3.77)

 

Отличные от нуля матричные элементы операторов рождения и

уничтожения равны

 

. (3.78)

 

Прямым вычислением легко показать, что

 

, ,

.

Как уже отмечалось, волновая функция основного состояния может быть найдена из условия

 

. (3.79)

 

Это сразу же дает

. (3.80)

 

Для волновой функции с n >0получаем компактное выражение

 

. (3.81)

 

Очевидно, что эти состояния (волновые функции) ортонормированны. Это легко показать, используя соотношения коммутации (3.69) и условие (3.79).

 

Квантовый осциллятор в электрическом поле. Гамильтониан одномерного осциллятора в электрическом поле F, направленном вдоль оси х, имеет вид

(3.82)

где .

Введём операторы , тогда

. (3.83)

Все коммутационные соотношения для новых операторов совпадают с коммутационными соотношениями для операторов и . Очевидно, что

, (3.84)

где

. (3.85)

Рассмотрим оператор координаты

. (3.86)

В отсутствии поля все малые колебания происходят вокруг . Электрическое поле просто сдвигает положение из нуля в точку .

 

Глава 4. Момент импульса

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента импульса

(4.1)

, (4.2)

где проекции оператора момента импульса:

(4.3)

Вычислим коммутатор двух проекций момента импульса, используя известное нам соотношение коммутации :

(4.4)

Для остальных проекций момента импульса получаем:

(4.5)

Так как коммутаторы в (4.5) отличны от нуля, то две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и вектор момента импульса не имеет определенного направления в пространстве. Кроме соотношения (4.5), выполняются следующие правила коммутации, которые в сжатом виде можно представить, как ():

, (4.6)

Здесь – единичный псевдотензор третьего ранга. Он равен нулю, если любая пара индексов совпадает, равен единице в случае и меняет знак при перестановке соседних индексов Рассмотрим теперь более подробно оператор . Введём операторы , , для которых имеют место соотношения:

, , . (4.7)

В терминах этих операторов квадрат момента импульса

(4.8)

Из (4.8) и (4.7) сразу же следует, что . Таким образом, в квантовой механике векторная величина момента импульса не может иметь определенного значения. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и одна из его проекций, которая не может совпадать с модулем