Уравнение Шредингера для атома водорода.

 

В сферической системе координат для электрона:

- собственное значение энергии электрона в атоме, n=1,2,3,…

-определяется тремя параметрами;

n – главное квантовое число, l – побочное квантовое число, m – магнитное квантовое число.

Вероятность того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема dv₁, взятого в окрестности точки с координатами определяется

(в сферических координатах).

В состоянии s(l=0, m=0) волновая функция сферически симметрична (т.е. не зависит от углов ()).

Нормированные собственные -функции, отвечающие за 1s-состояние (основному) и 2s-состоянию, имеют вид:

или в атомных единицах

где в качестве единицы измерения длины выбран радиус первой боровской орбиты

При таком выборе единицы длины расстояния осей ядра будет выражаться в безразмерных величинах.

В s-состоянии вероятность найти электрон в интервале (r,r+dr) одинакова по всем направлениям и определяется формулой

Момент импульса L и магнитный момент P, обусловлены орбитальным движением электрона:

где l – орбитальное квантовое число l=(0,1,2,3,…,(n-1)),

Проекция момента импульса L_z и магнитного момента P_z на направление внешнего магнитного поля:

где m – магнитное квантовое число ().

Гиромагнитные отношения для орбитальных магнитного момента P и момента импульса L

Момент импульса s и магнитный момент , обусловлены спином электрона

Проекции спиновых моментов импульса S_z и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля

Проекции S_{z и} могут принимать только два значения.

Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов

Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с помощью спектроскопических символов:

Значение орбитального числа l
Спектрографический символ	s	p	d	f	g	h	i	k

Электронная конфигурация записывается следующим образом:

2p – (n =2, l =1); 2p² – (электронов в атоме ровно 2^m и т.д.)

Принцип Паули: в атоме не может находиться два и более электронов, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, m, m_s (где m_s – спиновое магнитное квантовое число: ).

Оператор Лапласа в сферических координатах:

Z_e – заряд ядра. Сила, связывающая электроны с ядром на расстояниях порядка атомных размеров ( см) есть кулоновская сила притяжения. Соответствующая ей потенциальная энергия

Для низшего энергетического состояния l =0 и оно полной сферической симметрией, так что функция будет зависеть только от радиуса r и не будет зависеть от углов . Поэтому члены, содержащие производные по в операторе Лапласа, равны нулю и уравнение Шредингера принимает вид:

Обозначим

простейшее решение этого уравнения, имеющее конечное значение при r =0 и стремящееся к нулю при есть

Действительно, имеем, прежде всего

подставляем в выше написанное уравнение, и после сокращения на

это соотношение должно иметь место при любом r, вследствие чего оба двучлена, взятые в скобки, должны равняться нулю, каждый в отдельности, т.е.

,

Сравнивая с формулой Бора для бальмеровых уровней энергии мы видим, что E_l, есть не что иное, как первый бальмеров уровень, соответствующий главному квантовому числу n= 1, l= 0, оно символически обозначается ls.

Z=1 и иногда энергия E_l водородного атома в нормальном состоянии, с обратным знаком, это и будет энергия ионизации атома водорода.

хорошее совпадение с экспериментальными данными.

Вычислим теперь вероятность электрона в элементе объема . Обозначим через N нормирующий множитель.

, где

Постоянная имеет размерность см^-1.

Введем новую постоянную , связанную с отношением:

тогда:

плотность вероятности W(r) обращается в нуль при и асимптотически стремится к нулю при . Таким образом, имеется определенная вероятность найти электрон на любом расстоянии от ядра – между 0 и . Эта вероятность достигает максимума на расстоянии: продифференцируем последнее уравнение и приравняем к нулю, и после сокращения на

получим

откуда , где

где ; находим ;

С таким выражением встречались в теории Бора: n= 1, Z= 1

;

это радиус первой водородной орбиты. Азимутальное квантовое число теории Бора

и здесь состояние ls характеризуется сферической симметрией, так что распределение вероятности представляет собой сферическое «облако», а не плоский образ, соответствующий «орбите». Заряд электрона представляют на всех графиках размазанный по всему пространству в виде облака.

 

Уравнение Шредингера

 

следует решать по методу разделения переменных, полагая

Умножая исходное уравнение на получаем:

Так как слева стоит величина, зависящая только от r, справа – только от углов , это равенство может иметь место только в том случае, когда и левая, и правая части равны по отдельности некоторой величине , называемой постоянной разделения.

Для радиальной:

Для угловой:

Полагая

ее разделяют по сферическим углам:

Частные производные заменяются полными дифференциалами.

- постоянная разделения.

Каждая из функций зависит только от одной переменной.

Таким образом, для определения собственных значений энергии и соответствующих им собственных значений функций получим три уравнения:

нормировка производится для каждой из функций по отдельности.

Частное решение для азимутальной функции: ,

либо .

Волновая функция должна удовлетворять условию однозначности, необходимо наложить условие периодичности , из которого следует

,

где .

из условия нормировки

m – магнитное квантовое число, собственные значения его известны.

Решение второго уравнения:

 

 

l – орбитальное квантовое число, l = 0,1,2,3,…, n -1

квантовое число характеризует собственное значение оператора , входящего в квантовое операторное выражение функции Гамильтона

.

Сравнивая с классической функцией Гамильтона

,

где , видим, что оператору в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения , а оператору - квадрат радиального импульса .

В классической механике момент количества движения , а момент внешних сил , и изменения

В случае центральных сил , тогда закон сохранения количества движения.

Чтобы обобщить классическое выражение на квантовый случай, надо заменить оператором импульса

,

тогда - не коммутируемые операторы.

;

действуя на шаровую функцию

;

m – характеризует проекцию момента количества движения на ось z.

- собственная функция операторов

При обращается в нуль, в то время по классической теории это величина не может вообще обращаться в нуль. Состояние не имеет классического аналога. Механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии подтверждают этот квантово-механический результат.